9.13 1)
5 1 −3
6 −1 −8
−1 3 7
=
5 1 −3 5 1
6 −1 −8 6 −1
−1 3 7 −1 3
=−35 + 8−54 + 3 + 120−42 = 0
Les vecteurs~a,~b et~c sont bel et bien coplanaires.
2) Exprimer le vecteur ~c comme combinaison linéaire des vecteurs ~a et ~b revient à déterminer deux scalairesλ et µtels que~c=λ ~a+µ~b.
−3
−8 7
=λ
5 6
−1
+µ
1
−1 3
−3
−8 7
=
5λ+µ 6λ−µ
−λ+ 3µ
−3 = 5λ + µ
−8 = 6λ − µ 7 = −λ + 3µ
L’addition des deux premières équations donne−11 = 11λ, d’oùλ=−1.
La première équation s’écrit donc −3 = 5·(−1) +µ, si bien que µ= 2.
Contrôlons que la dernière équation est bien vérifiée : 7 =−(−1) + 3·2. On a donc trouvé~c=−~a+ 2~b.
3)
5 1 6
6 −1 5
−1 3 −2
=
5 1 6 5 1
6 −1 5 6 −1
−1 3 −2 −1 3
= 10−5 + 108−6−75 + 12
= 446= 0
Les vecteurs~a,~b etd~ne sont donc pas coplanaires.
4) Si l’on pouvait exprimer le vecteur d~ comme combinaison linéaire des vecteurs~aet~b, alors les vecteurs~a,~betd~seraient linéairement dépendants et seraient par conséquent coplanaires.
Vu le résultat obtenu en 3), il est impossible d’exprimer le vecteur d~ comme combinaison linéaire des vecteurs~a et~b.
Géométrie : bases Corrigé 9.13
