E424-Autres variantes du jeu de Nim Solution
Problème n°1 : prendre prioritairement les jetons des tas placés sur les bords.
Traitons d’abord le problème avec 2 tas T et 1 T2 d’effectifs a et b jetons. Les deux tas étant évidemment sur les bords, les deux joueurs peuvent donc librement piocher dans l’un ou l’autre. A commence. Il est facile de vérifier que si a = b, A est le perdant car à toute pioche de k jetons dans l’un des deux tas, le joueur B fait la même pioche de k jetons dans l’autre tas de manière à maintenir l’égalité du nombre de jetons des deux tas jusqu’au bout des tirages. B sera bien celui qui prendra le dernier jeton. Si a b, c’est A le vainqueur qui prélève dans le tas le plus fourni k=abs(a-b) jetons de manière à égaliser le nombre de jetons dans les deux tas.
Passons aux trois tas T ,1 T2 et T d’effectifs a, b et c jetons. 3
- Si [b = c et a quelconque] ou [a =b et c quelconque], le joueur A est le vainqueur en prenant les a jetons du 1er tas ( ou le 3ème tas) et il laisse à B une configuration perdante pour ce dernier avec 2 tas d’effectifs identiques (cf supra).
- Si a = c et b quelconque, le joueur A est le perdant car obligé de prendre des pions soit dans le 1er tas soit dans le 3ème tas, B copie rigoureusement ce qu’il fait soit dans le 3ème tas soit dans le 1er tas. Quand A a fait disparaître un tas, alors le joueur B pioche dans T 2 de façon à égaliser le nombre de jetons dans les deux tas restants.
- Si a b c le joueur A est le gagnant car il égalise les deux tas T1et T2 et laisse B dans la situation précédemment analysée avec a= c et b quelconque.
Nota : il est inutile de passer par les NIM additions dans la mesure où les tirages à opérer consistent toujours à égaliser le nombre de jetons de deux tas.
Application numérique : a = 15, b=25 et c=10
Voici une séquence possible de tirages qui mène à la victoire de A :
Problème n°2 : prendre prioritairement les jetons du tas le plus important.
position initiale 15 25 10
tirage A -5
reste 10 25 10
tirage B -8
reste 10 25 2
tirage A -8
reste 2 25 2
tirage B -1
reste 2 25 1
tirage A -1
reste 1 25 1
tirage B -1
reste 0 25 1
tirage A -24
reste 1 1
tirage B -1
reste 0 1
tirage A -1
reste 0
T1 T2
T3
Comme dans le problème précédent, on traite d’abord le problème avec deux tas T1et T2 d’effectifs a et b jetons. Si a=b, A est le perdant car à toute pioche de k jetons dans l’un des deux tas, le joueur B fait la même pioche de k jetons dans l’autre tas de manière à maintenir l’égalité du nombre de jetons des deux tas jusqu’au bout des tirages. Si ab, avec a>b, A enlève a-b jetons du tas T afin d’égaliser le nombre de jetons dans les deux tas. 1
Avec les trois tas T ,1 T2 et T d’effectifs a, b et c jetons, on a les configurations suivantes : 3 - Si b = c et a < b, le joueur A est le perdant car obligé de prendre des pions soit dans le
2ème tas soit dans le 3ème tas, B copie rigoureusement ce qu’il fait soit dans le 3ème tas soit dans le 1er tas. Quand A a fait disparaître l’un des deux tas, alors le joueur B pioche dans T de façon à égaliser le nombre de jetons dans les deux tas restants. 1
- Si b = c et a b, le joueur A est le vainqueur en prenant les a jetons du 1er tas.
- Si a b et b c, avec a et c quelconques entre eux, c’est toujours A le vainqueur car il égalise les deux tas dont les effectifs sont les plus importants afin de laisser à B une configuration du type b = c et a < b qui est perdante pour ce dernier.
Application numérique : a = 15, b=25 et c=10
Voici une séquence possible de tirages qui mène à la victoire de A :
Problème n°3 : prendre prioritairement les jetons d’un tas adjacent à celui qui a fait l’objet d’un tirage au tour précédent.
Avec deux tas ayant respectivement a et b jetons, on est ramené au problème n°2 (voir supra).
Avec trois tas T , 1 T et 2 T d’effectifs a, b et c, on constate que si le premier joueur prend des 3 jetons dans le 1er ou le 3ème tas, il continuera à piocher dans ces deux tas pendant toute la partie tandis que son adversaire aura pour seule ressource le tas du milieu. Et vice-versa.
Il apparaît que le joueur A a toujours une stratégie gagnante sauf quand b = a +c.
- Si b a, le joueur A prend les c jetons du 3ème tas et il a dans le premier tas un nombre de jetons supérieur ou égal à celui de son adversaire.
- Si b > a+c, le joueur A prend un seul jeton du tas central et à chaque tour avec cet nique tas, il aura l’assurance d’avoir un nombre total de jetons supérieur ou égal à celui de son adversaire.
- Si b < a+c, cette fois-ci A prend un seul jeton au choix dans le 1er ou le 3ème ts.
position initiale 15 25 10
tirage A -10
reste 15 15 10
tirage B -6
reste 9 15 10
tirage A -5
reste 9 10 10
tirage B -1
reste 9 10 9
tirage A -10
reste 9 0 9
tirage B -9
reste 0 9
tirage A -9
reste 0
T1 T2 T3
- Si b = a+c, A est le perdant, car quel que soit le tas choisi, il crée un déséquilibre en sa défaveur, le tas (ou les deux tas) dans lesquels il devra piocher ayant moins de jetons que les deux autres (ou le troisième).
Application numérique : a = 15, b=25 et c=10
Voici une séquence possible de tirages qui mène à la victoire de B :
position initiale 15 25 10
tirage A -1
reste 15 24 10
tirage B -1
reste 14 24 10
tirage A -10
reste 14 14 10
tirage B -10
reste 14 14 0
tirage A -14
reste 14 0
tirage B -14
reste 0
T1 T2
T3
