E449 – Nim au casino [*** à la main]
Une partie de NIM au casino se déroule de la façon suivante :
- Le croupier lance un dé sur le tapis qui affiche le numéro d (1 ≤ d ≤ 6) puis une bille sur le plateau de la roulette qui donne le numéro r (0 ≤ r ≤ 36). Un jeton est alors placé sur la case n° r de la table de jeu. La partie se joue alors entre Zig et Puce.
- Zig puis Puce, à tour de rôle, laissent inchangée la face visible du dé ou bien font apparaître une face qui a une unité d’écart (*). Le choix de la face x du dé étant fait, le joueur fait passer le jeton de la case n° k de la table de jeu à la case n° (k – x).Si k < x, le joueur est empêché de jouer et il perd la partie.
Q₁ Quelles sont les valeurs de r (numéro annoncé à la roulette par le croupier avant le début de la partie) pour lesquelles Puce est certain de gagner quel que soit le résultat d du lancer du dé ?
Q₂ Pour quelle(s) valeur(s) de d, Puce a-t-il plus d’une chance sur deux de gagner la partie ? Q₃ Calculer la probabilité de gain de Zig avant le début de la partie.
(*) Par exemple si la face 3 a été laissée par l’un des deux joueurs, l’autre joueur peut garder cette face ou faire apparaître ou bien la face 2 ou bien la face 4. Si c’est la face 6, ce joueur peut la garder ou faire apparaître la face 5. Si c’est la face 1, ce joueur peut la garder ou faire apparaître la face 2.
Solution proposée par Daniel Collignon
Pour résoudre cet énoncé, j'ai construit un tableau en codant 0 pour P (la situation est perdante pour celui qui en hérite) et 1 pour G (la situation est gagnante pour celui qui en hérite).
Pour r=0, trivialement tout est P.
La situation s(r,d) est G s'il existe une situation P parmi s(r-d-1, d+1), s(r-d,d) ou s(r-d+1,d-1) La situation s(r,d) est P si toutes les situations s(r-d-1, d+1), s(r-d,d) et s(r-d+1,d-1) sont G Avec un tableur la formule est 1 - produit(3 cases)
On peut border le tableau de 1 pour éviter de considérer les cas extrêmes d=1 et 6 où il n'y a que 2 cases à considérer.
Cela permet ainsi de déterminer par récurrence l'état complet du jeu (voir page suivante) et de répondre très simplement aux questions.
Q1 : il suffit de lire les lignes formées de six 0, à savoir r=0 ou 26.
Q2 : il suffit de lire les totaux en colonne strictement inférieurs à 37/2=18,5, à savoir d=6.
Q3 : chaque situation (r,d) étant équiprobable, la probabilité de gain de Zig avant le début de la partie est égale à la somme des 1 rapportée à 37*6, soit 145/222 ou environ 65,3 %.
