Elasticité et rhéologie d'une interface macroscopique : du piégeage au frottement solide

(1)

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Lionel Bureau

To cite this version:

Lionel Bureau. Elasticité et rhéologie d’une interface macroscopique : du piégeage au frottement

solide. Dynamique des Fluides [physics.flu-dyn]. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2002. Français.

�tel-00001413�

(2)

THÈSE

pour l'obtention du diplômede

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ PARIS VII

Spécialité :Physique

Présentée par

Lionel BUREAU

Sujet :

Élasticité et rhéologie d'une interface macroscopique :

du piégeage au frottement solide

Soutenue le 2juillet2002 devantle jury composé de :

M. TristanBAUMBERGER directeur de thèse

M. YvesBRÉCHET

Mme Élisabeth CHARLAIX rapporteur

M. Steve GRANICK

Mme Liliane LÉGER

(3)

(4)

Mon goût pour la recherche est né d'un stage eectué au Laboratoire de PhysiquedelaMatièreCondenséedel'ÉcoleNormaleSupérieure,dansl'équipe

de Bernard Perrin, à qui j'exprime toutema reconnaissance.

J'aipuacquérirauseindulaboratoiremixteSaint-Gobain/CNRSSurfaces du Verre et Interfaces, avant que cette thèse ne débute, une culture

expéri-mentale quim'aété précieuse.Jeremercie vivementStéphane Roux,directeur

de ce laboratoire,de m'y avoiraccueilli.

Cettethèse, eectuéeauGroupede Physiquedes Solides,aété dirigéepar

TristanBaumberger,etChristianeCaroliapris unepart activeàson

dévelop-pement. Je leur exprime ici mon immense reconnaissance, pour la qualité de la formation scientique qu'ils m'ontdispensée auquotidien.

Jeremercie Jean-MarcBerquier, de Saint-GobainRecherche, etPascal

Sil-berzan, de l'Institut Curie, de m'avoirinitié à l'art dicile de la silanisation. Leursconseilsetleurdisponibilitéontbeaucoupcontribuéaubondéroulement

de mon travail.

Merci à Jeanne Berréhar etAnnie Fleury pour leur aide précieuse et leurs conseils au chimistenovice queje suis. Merci égalementà DavidHautemayou

et Alexandre Lantheaume, qui ont assuré la qualité et la précision de nos

montages expérimentaux.

JeremercieOlivierRonsinetChristopheCoste. Ilsontcontribuéàfairede

cette période de thèse une expérience enrichissante.

MerciennàGrazia,quim'a supportéetencouragéinfailliblementtoutau

(5)

(6)

1 Introduction 7

2 Introduction à la physique du frottement solide 11

2.1 Les loisacadémiques du frottementsolide . . . 11

2.2 Mécanique du contact entre surfaces rugueuses . . . 12

2.2.1 Rugosités etdéformations plastiques . . . 12

2.2.2 Contact entre surfacerugueuses :lemodèle de Greenwood 15 2.2.3 Raideur interfaciale en cisaillement . . . 19

2.2.4 L'interfacemulticontacts :un système modèle . . . 21

2.3 Les écarts systématiques aux loisd'Amontons-Coulomb . . . 22

2.3.1 Vieillissementgéométrique . . . 22

2.3.2 Aaiblissementcinétique etstick-slip . . . 24

2.3.3 Bifurcation entre glissementstationnaire etstick-slip . . 25

2.3.4 Hystérésis de frottement etlongueur de mémoire. . . 26

2.4 Le modèle phénoménologique de Rice et Ruina . . . 27

2.5 Analyse physiquedu modèle de Rice et Ruina . . . 29

2.5.1 Vieillissementgéométrique par uage . . . 29

2.5.2 Rhéologie interfaciale . . . 32

2.5.3 Le modèle des nanoblocs de Persson. . . 36

3 Réponse frictionnelle à une modulation de charge normale 41 3.1 Description des expériences . . . 42

3.1.1 Préparation des échantillons . . . 42

3.1.2 Montage . . . 42

3.1.3 Protocole de mesure . . . 44

3.2 Résultats. . . 45

3.2.1 Glissementstable . . . 45

3.2.2 Bifurcation vers lestick-slip . . . 47

(7)

3.3.1 Prédictions du modèle de Rice et Ruina en glissement

stable . . . 51

3.3.2 Réinterprétationdu terme de rhéologieinterfaciale. . . . 56

3.3.3 Étude de labifurcation . . . 60

3.3.4 Discussion : eets de lamodulation sur levieillissement . 63 3.4 Conclusions . . . 66

4 Cisaillement alternatif d'une interface multicontacts 69 4.1 Description des expériences . . . 70

4.1.1 Préparation des échantillons . . . 70

4.1.2 Principede l'expérience: un tribomètre inertiel . . . 71

4.1.3 Montage expérimental . . . 72

4.1.4 Reproductibilité des résultats . . . 75

4.2 Réponse à un cisaillementalternatif d'amplitude croissante . . . 77

4.3 Élasticité etdissipation d'énergie avant glissement . . . 79

4.3.1 Résultats . . . 79

4.3.2 Discussion . . . 83

4.4 Fluage saturantsous cisaillement . . . 89

4.4.1 Résultats . . . 90

4.4.2 Discussion . . . 91

4.5 Conclusions . . . 96

5 Vieillissement structural et rhéologie de la jonction adhésive 99 5.1 Expériences . . . .100

5.1.1 Préparation des échantillons . . . .100

5.1.2 Montage . . . .101

5.1.3 Préparation d'une interface à aire de contact constante .102 5.2 Résultats. . . .103

5.2.1 Inuence de la silanisationsur le frottementdynamique .103 5.2.2 Mise en évidence du vieillissementstructural . . . .105

5.2.3 Dynamiquedevieillissementstructuraleteetdelaforce tangentielle statique . . . .107

5.2.4 Transitoires de charge . . . .110

5.2.5 Dépendance en vitesse du coecient de frottement dy-namique . . . .112

5.3 Discussion . . . .115

(8)

A Annexes au chapitre 2 125 A.1 Modèle de Greenwood :calcul de

N

,

Σ

r

et

W

dans un cas simple125

A.2 Analyse de stabilitélinéaire . . . .126

B Annexes au chapitre 3 131 B.1 Réalisationexpérimentale de la modulationde la charge normale131 B.2 Réponse élastohydrodynamiquede lacouche d'air . . . .132

B.2.1 Réponse normale élastiquedes aspérités . . . .132

B.2.2 Réponse de lacouche d'airinterfaciale . . . .133

B.2.3 Estimationdu rapport

ε

ef f

/ε

. . . .135

B.3 Estimationdu paramètre de Linker-Dieterich. . . .135

C Annexes au chapitre 4 137 C.1 Extension du modèle de Mindlin. . . .137

C.1.1 Résultats du modèle de Mindlinpour un monocontact .137 C.1.2 Extension du modèle . . . .138

(9)

(10)

Introduction

Pour faire glisser l'un par rapport àl'autre deux solidesen contact,il faut

vaincre la force de frottement qui s'oppose à leur mouvement relatif. C'est

cette forcedefrottement solidequifaitqu'unevoiturestationnée dansunerue en pente reste là où son propriétaire l'a garée, mais c'est aussi le frottement

qui faitque lespneusde lavoitures'usent. Cet exemplecontemporainillustre

un phénomène queLéonard de Vinci étudiaitdéjà [1], et auquel Coulomb,au 18

e

siècle, adonnéun statut académique en formulantlesloisdu frottement

solide que nous connaissons actuellement. L'étonnante robustesse de ces lois

nous fait cependant souvent oublier qu'elles sont totalement empiriques, et que c'est seulement au milieu du 20

e

siècle, avec les travaux incontournables

de F.P. Bowden etD. Tabor[2], queleurs bases physiques ont été établies.

Aujourd'hui,latribologie 1

,sciencedu frottement,doitfairefaceàdes pro-blèmes d'une grande complexité, mettant en jeu des contacts solides sollicités

à desvitesses de glissement,des températures etdespressions quipeuvent

va-rier, pour un mêmesystème, sur plusieursordresde grandeur (pour reprendre l'exemple automobile, c'est lecas lors du frottementd'un patin sur un disque

de frein). On peut alorsse demandersi, dansde telles conditions, lecadredes lois de Coulomb est encore adapté pour décrire le glissement. En particulier,

le tribologueest souventconfrontéàdes problèmes d'instabilitédu glissement

appelée stick-slip à l'originedes vibrations etdes grincementsdans les

mécanismesfrottants,etdontlesloisdeCoulombnepermettentpasde rendre compte. Cette même instabilité de stick-slip est invoquée en géophysique, à

l'échelle des faillestectoniques, pour expliquer lestremblementsde terre.

Les problèmes dans lesquels le frottement joue un rôle important mettent

doncenjeudesmatériauxtrèsdiérents(alliagesmétalliques,polymères,

com-posites, roches...), glissant à des vitesses allant du cm/an en géophysique à

des dizaines de m/s en ingénierie mécanique, dans des systèmes dont

(11)

sion spatiale varie sur douze ordres de grandeur (depuis le nanomètre dans le contact entre un échantillonetune pointe de microscope àforce atomique,

jusqu'au kilomètrepour lesfailles tectoniques).

Devant une telle diversité, on voit que la recherche des mécanismes

fon-damentaux responsables du frottement solide et de la dissipation d'énergie

associée doit presque nécessairement passer par le choix de systèmes modèles. C'est dans cet esprit que le géophysicien J. Dieterich, dans les années 70, a

réalisé ses premières études du frottement des roches en laboratoire [3]. Il a

montré, grâce à des expériences originales de glissement non stationnaire à basse vitesse (inférieureà0.1

mm.s−1),

quelaforcede frottementdépendnon

seulement de la vitesse, mais également de l'histoire du glissement. Ce

résul-tat, fondamentalpour lacompréhensiondu stick-slip,aensuite amenéJ.Rice et A. Ruina [4] à proposer un modèle phénoménologique dans lequel la force

de frottement dépend de la vitesse etd'une variable d'état (en anglais State

and Rate-dependent Friction que nous désignerons par SRF), qui permet de rendre compte de nombreux comportementsdynamiquesobservés.

Les travaux menés par F. Heslot et al [5] puis T. Baumberger et al [68] ont par la suite étendu la validité des résultats de Dieterich au frottement

de matériaux aussi diérents que du papier, des polymères vitreux ou des

élastomères. Cette universalité de la phénoménologie du frottement basse vitesse laisse alors penser qu'une analyse ne du glissement non stationnaire,

danslecadredumodèledeRiceetRuina,doitpouvoirrenseignersurlanature

des mécanismes physiques en jeu, apparemment largement indépendants des matériaux en contact.

Lorsque mathèse adébuté, les travauxde P. Berthoud,T. Baumbergeret C. Caroli avaient déjà permis de comprendre en détail les eets d'un

méca-nisme essentiel dans la dynamique de glissement [6,7]. La rugosité inévitable

des solidesmacroscopiquesconduitàla formationd'interfacesmulticontacts constituéesdemultiplesmicrocontactsentrelesaspéritésdessurfaces.Detelles

interfacesvieillissentparcroissance lentede l'airedes microcontacts,résultant

du uage des aspérités qui portent la charge, et le glissement les rajeunit en provoquant le renouvellement des aspérités en contact. Le détail de la

dyna-mique de glissementapparaîtalorscommelerésultatde lacompétitionentre :

(i)ce vieillissement/rajeunissement,et

(ii)unerhéologie interfaciale,quisetraduitparunedépendancecroissante

en vitesse de glissementinstantanéede laforce de frottement.

Si le premier point est clairement identié comme un eet géométrique

lié aucaractère multicontacts des interfaces,la compréhension de la rhéologie

(12)

Danscecontexte,montravailexpérimental,reprenantcommeobjetd'étude l'interface multicontacts entre deux solides macroscopiques, s'est déroulé en

trois étapes :

(i) La première a été motivée par un problème issu de la géophysique : connaître l'inuence, sur la dynamique de glissement d'une faille tectonique,

des uctuations de contraintes résultant, par exemple, de l'émission d'ondes

élastiquespardesséismesvoisins[9,10].Nousavonsdoncétudiélaréponse fric-tionnelled'une interfacemulticontactssoumiseà unechargenormalemodulée

dans le temps (Chap. 3). Cette situation se présente également en ingénierie

mécanique, oùlesassemblagesfrottantssontfréquemmentsoumisàdes vibra-tions extérieures. L'analyse de nos résultats expérimentaux dans la cadre du

modèle SRF nous a permis de mettre en évidencele rôle crucial de laraideur

tangentielledes aspérités dans ladynamiquede glissementsous charge modu-lée.Nousavonsétéamenésàréinterpréterlemodèlepourtenircomptedecette

raideur nie, etsommes ainsi parvenus à décrire quantitativementl'ensemble

des eets observés.

(ii) Si les régimes de glissement établi étaient pour l'essentiel bien

com-pris, il n'en était pas de mêmede la transitionentre arrêt etglissement.Nous

nous sommesdonc intéressés àlaquestion suivante:commentdeux solidesen contact passent-ilsd'unesituationstatique,piégée,àun régimeglissant,

dissi-patif?Pourtenter d'éclairercettequestion,nousavonsétudiélaréponsed'une

interface multicontactssoumiseàune forcetangentiellealternative(Chap.4). Nous avonsainsi obtenu desrésultatsquantitatifssur l'évolutionavec

l'ampli-tude de cisaillement de l'élasticité interfaciale, et sur le développement de la

dissipation dans le régime oùl'interface est globalementpiégée. Si l'évolution de ladissipation estinterprétablequalitativementdansl'espritdu modèle

mé-canique de contacts partiellementglissantsdû à Mindlin,ellemet en évidence

qu'il n'est légitime de faire appel à la notion de coecient de frottement lo-cal qu'àdes échelles spatiales nettement supérieuresaunanomètre. Ceci est à

mettreenrelationavecl'existence d'uneéchellecaractéristiquedesévénements

dissipatifs élémentaires.

À grandeamplitude de cisaillement,oùleglissement s'amorce,nous avons

mis en évidence l'existence d'un régime de uage saturant, principalement

contrôlé par lacompétitiondynamique entre vieillissementgéométrique et ra-jeunissement par glissement. Cependant, ce mécanisme à lui seul ne permet

pas derendrecomptedelaphaseinitialede ladynamiquede uage.Cela nous

a amenés à soupçonner que lors de la mise en glissement de l'interface, un deuxième mécanisme de rajeunissement, concernant cette fois la structure de

(13)

tionnelle d'une interface multicontacts entre une surface rugueuse et un sub-strat lisse quasi-indéformable (Chap. 5). Dans cette géométrie interfaciale, le

mécanisme de renouvellement par glissement des aspérités en contact n'opère

plus : les microcontacts conservent en permanence leur identité. Ceci nous a permis de réaliser des mesures à âge géométrique constant, etdonc de sonder

nementlarhéologiede lajonctionadhésive.Nousavonsainsimisen évidence

sans ambiguïté un phénomène de vieillissement structural à l'÷uvre au sein même de la jonction adhésive, d'épaisseur nanométrique, où se localise le

ci-saillement.De ce pointde vue, lajonction adhésive secomporte de façontrès

analogue àun uideà seuilouàun solidevitreuxfaible cisaillé :le rajeunis-sement par mouvement déjà mis en évidence dans ces systèmes se manifeste

ici de deux façons. Il est à l'origine de l'existence d'un régime stationnaire

d'aaiblissementcinétique, etdonne lieuà la présence d'un pic de frottement dans les transitoires de charge. Nous avons de plus montré que la dynamique

de vieillissementest accélérée par l'application d'un contraintestatique.

Nous avons ainsi obtenu, à partir d'expériences sur un système macrosco-pique, des informations sur la dynamique de vieillissementde la jonction, qui

met en jeu des réarrangements structuraux opérant, à une échelle sans doute

nanométrique, dans ce milieubidimensionnelconné.

Avantde présenter l'ensemblede ces résultats(Chap. 3,4, 5),nous

consa-crons lechapitre2à unbrefexposé des élémentsessentielsàlacompréhension

(14)

Introduction à la physique du

frottement solide

2.1 LES LOIS ACADÉMIQUES DU FROTTEMENT SOLIDE

Amontons,en1699,puisCoulomb,en1781,ontétélespremiersàproposer une descriptionempiriquedétailléedufrottementsolide,en s'appuyantsurdes

expériences systématiques.

Considéronsun patin posé sur une piste horizontalesous son proprepoids

W

,etappliquonssurcepatinuneforce

F

,parallèlementàlasurfacedecontact d'aire apparente

Σ

0

(voirgure 2.1a).

Si l'on augmente la force tangentielle progressivement à partir de zéro,

aucun mouvement macroscopique du patin n'a lieu tant que

F

est inférieure à une valeur

F

s

(g. 2.1b). Lorsque la force tangentielle atteint cette valeur seuil, le patin glisse.

Unefoislepatinmisenmouvement,uneforce

F

d

estnécessairepour main-tenir le glissement àvitesse constante(g. 2.1b).

LesloisdufrottementétabliesparAmontonsetCoulombsontlessuivantes:

•

les forces

F

s

et

F

d

varient proportionnellement à la charge normale :

F

s

= µ

s

W

et

F

d

= µ

d

W

.Les rapports

µ

s

et

µ

d

sontappelés coecients de frottement, respectivement statique etdynamique,

•

lescoecients

µ

s

et

µ

d

sont indépendants de l'aire nominalede contact

Σ

0

,

• µ

s

µ

d

• µ

d

est indépendantde lavitesse de glissement.

Cette description, encore largement utilisée actuellement,est particulière-ment robuste : dans des conditions courantes de frottement c'est à dire

mettant en jeu des solides macroscopiques, dont les surfaces ne sont pas

(15)

W

K

V

x

(a)

Σ

0

0.2

0.4

0.6

0

10

20

30

40 F / W

t (s)

repos charge

glissement

µ

_s

µ

_d

(b)

Fig.2.1:(a)Montageexpérimentalschématique:lepatin,posésurlapistesousunecharge

W

,est chargéparunressortderaideur

K

dontl'extrémitélibreest entraînéeàvitesse

V

. La force tangentiellevaut

F

= K(V t − x)

,où

x

est laposition dupatin relativementàla piste.

Σ

0

estl'aireapparentedecontact.(b)

F/W

enfonctiondutemps,pouruneinterface PMMA/PMMA à température ambiante : le patin, initialementau repossous

F

= 0

, est soumis àune force tangentielle qui croît linéairement(charge) jusqu'auvoisinagedu seuil

µ

s

.Aprèsuntransitoire,lepatinglisseà

V

= 10 µ

m.s

−1

sous

µ

d

.

dans une gamme0.11.

Leslois d'Amontons-Coulombrestent toutefois empiriques, etn'apportent

aucun renseignement quant à lanature des mécanismes responsables du frot-tement solide.À chacune des loisci-dessus est associée une question : de quoi

résulte la proportionnalité entre la force de frottement et la charge normale?

Pourquoi existe-t-il un seuil statique plus élevé que le niveau de frottement dynamique, etcommentsefaitlepassagede l'unàl'autre? L'objetde ce

cha-pitre est de présenter diérents travaux qui ont pu apporter des éléments de réponse àces questions.

2.2 MÉCANIQUE DU CONTACT ENTRE SURFACES RUGUEUSES

2.2.1 Rugosités et déformations plastiques

Il faudra attendre près de deux siècles après Coulomb, et les travaux de

Bowden et Tabordans les années 50[2], pour voir apparaître une interpréta-tion du frottement solide qui prenne en compte les propriétés physiques des

matériaux en contact.

Ces auteurs insistent sur l'importancede la rugosité des surfaces dans les

problèmes de frottement. Les surfaces des solides macroscopiques présentent

(16)

quedeuxsolidessontplacésl'uncontrel'autre,lecontacteectifn'alieuqu'aux sommets des aspérités les plus hautes(g. 2.2).

Σ

0 Σ

r

(a)

(b)

Fig. 2.2: (a) Schéma d'un contact entre deux surfaces rugueuses, de surface nominale

Σ

0

et d'aireréelle

Σ

r

.(b) Image,enmicroscopieoptiquepar transmission,d'uneinterface multicontactsentredeuxéchantillonsderésineepoxytransparente:lescontactsapparaissent ennoir.Lechampestde

500 × 350 µ

m

2

.

L'interface entre les solides n'est donc pas macroscopiquement étendue,

mais formée de multiples microcontacts, et l'aire réelle de contact,

Σ

r

, est inférieure à l'aire apparente

Σ

0

(g. 2.2b). Le rapport

Σ

r

/

Σ

0

dépend de la charge normale appliquée sur les solides, et des propriétés mécaniques des

matériaux en contact 1

: à partir de mesures de résistance électrique, Tabor

évalue que pour un contact entre deux surfaces planes d'acier [2],

Σ

r

/

Σ

0

vaut

10 −5

sous une charge de 20 N, et

2.5 × 10

−3

lorsque

W

= 5000

N. Plus récemment, Dieterich et Kilgore [13] ont mesuré optiquement

Σ

r

/

Σ

0

10 −2

pour un contact entre deux blocs de PMMA

2

sous 1000 N.

Dans cette dernière expérience, la charge est appliquée sur une surface

d'aire apparente

16 × 16

mm

2

, ce qui correspond à une contrainte normale nominale

σ

0

4

MPa. La contrainte normale moyenne sur les microcontacts vaut par contre

σ

0 Σ

0 /

Σ

r

400

MPa, soit une valeur comparable à la dureté du PMMA :

H

200400 MPa. Les résultats obtenus par Bowden et Tabor avec de l'acierles conduisentà estimerde cette façonune contrainteréelle de

1

Remarquons que le contact entre des matériaux mous, tels que les élastomères ou les gels, peut par contre conduire à

Σ

r

∼ Σ

0

pour des pressionsmoyennes

W/

Σ

0

faibles (typiquementdel'ordredukPa,soit100g/cm

2

).Danscecasoùl'interfaceest macroscopi-quementétendue,lacompréhensiondufrottementrelèvedel'étudedemécanismestelsque lapropagationdefractures[11]oud'ondesdedécollementinterfaciales[12].

2

PMMA:poly(methylmethacrylate),unpolymèrevitreuxàtempératureambiante,dont latempératuredetransitionvitreuse

T

g

110 ◦

(17)

l'ordre de

1

GPa, également comparable à la dureté du matériau (

H

12 GPa).Ilsconcluentdoncquelorsducontactentre deuxsurfacesrugueuses,les

aspérités portant lachargesont déformées plastiquement, et quela contrainte

normalemoyenne sur lesmicrocontacts,

¯p = W/Σ

r

,est de l'ordre de ladureté

H

. Ceci implique que l'aire réelle de contact est proportionnelle à la charge normale :

Σ

r

=

W

H

(2.1)

Bowden et Tabor poursuivent en faisant l'hypothèse suivante : au niveau

des aspéritésencontact,lesdeuxcorpsformentunsolidecontinu.Autrement dit, lesaspérités sontsoudées, etlaforcede frottementcorrespond àlaforce

de cisaillement nécessaire pour rompre ces jonctions cohésives. Ils proposent

ainsid'écrirelaforcedefrottementcommeleproduitde l'aireréellede contact par une contrainte

σ

s

égale à lalimite élastique en cisaillementdu matériau:

F

= σ

s

Σ

r

(2.2)

À partirdes expressions (2.1) et (2.2),la forcede frottements'écrit :

F

=

σ

s

H

W

et la proportionnalité entre

F

et

W

apparaît ainsi comme résultant de la déformation plastiquedes aspérités en contact

4 .

Lestravauxde BowdenetTaborreprésententlapremièreavancéemajeure versunephysiquedufrottementsolide.Enparticulier,ladécomposition(2.2)

de la forcede frottement est au centre de laplupart des travauxultérieurs. Il

faut néanmoins remarquer que :

•

la nature exacte de la contrainte

σ

s

est une question à approfondir, car l'hypothèse desaspérités soudées est particulièrementforteet

simpli-catrice,

•

sil'hypothèse fondamentale de déformationplastique des aspérités sous charge normale est justiée pour les matériaux ductilestels que les mé-taux,ellel'est moinspour ceux dontledomainede réponse élastiqueest

3

Un testdeduretéconsisteàappliquer,surlasurfacedumatériauétudié,unindenteur rigide, sous une charge donnée

W

. L'aire

S

de l'empreinte laissée par l'indenteur permet d'évaluerla déformation plastique provoquée,et la dureté

H

dumatériau est dénie par

H

= W/S

.

H

est reliéeàlalimiteélastiqueentraction,

σ

Y

,parlarelationsemi-empirique

H ∼

= 3σ

Y

[14,15]. 4

Lechoixd'uncritèredeplasticitépermet derelier

σ

s

àd'autrepropriétésmécaniques: le critère de Tresca, par exemple, donne

σ

s

= σ

Y

/

2

. De plus,

H ∼

= 3σ

Y

, ce qui permet d'évaluerlerapport

µ

= F/W = σ

s

/

(3σ

Y

) 0.16

.Cette estimationconduit àune valeur de

µ

compatibleaveclesvaleurstypiquesdecoecientdefrottement,maisqui correspond

(18)

étendu,telsquelesélastomères,quivérientpourtantleslois d'Amontons-Coulomb[8],

•

cettemêmehypothèsenepermetpasd'évaluerindépendammentlenombre de contacts etleur taillemoyenne, mais seulement

Σ

r

.

2.2.2 Contact entre surface rugueuses : le modèle de Greenwood

En1966, Greenwoodpropose un modèle détaillé du contact entre surfaces

rugueuses [16], qui permet d'étendre la validité du résultat de Bowden et

Tabor : il montre en eet que la proportionnalité entre

Σ

r

et

W

est quasi-indépendantede l'étatde déformation,élastiqueouplastique,des aspéritésen

contact.

Il pose le problème du contact entre une surface rugueuse et un plan de

référence indéformable (g. 2.3). Toutes les aspérités sont supposées avoir le

même rayon de courbure

R

au sommet, et les hauteurs

z

des sommets sont distribuées aléatoirementselon une loi

φ

(z)

.

R

W

0 h

z

Fig. 2.3:Contactentre unplan indéformable et unesurfacedontlesaspéritésonttoutes le même rayondecourbure

R

ausommet. Leplan de référencede lasurfacerugueuseest situéen

z

= 0

,et lasurfacedumilieuindéformableen

z

= h

.

2.2.2.1 Mode de déformation des aspérités

Les aspérités en contact sont supposées indépendantes, c'est à dire

su-sammentéloignées lesunes desautrespourquelecouplage entreleurs champs de déformationsoitnégligeable.

Dansunpremiertemps,ladéformationindividuelledesaspéritésesttraitée dans lecadre de la théoriedu contact élastiquede Hertz [17,18](g. 2.4).

La zone de contact entre un plan indéformable et une sphère élastique,de

moduled'Young

E

,de rayon

R

,sous une chargenormale

w

,est circulaire;on note son rayon

a

. Larelation entre

w

et

a

s'obtient, en ordrede grandeur, en écrivant que la contrainte normale

¯p ∼

= w/a

2

(19)

2a

δ

R

w

Fig. 2.4:GéométrieducontactdeHertz.En pointillés:proldelasphèrenondéformée.

reliées par la loi de Hooke :

¯p ∼

= Eε

, ce qui conduit à

w ∼

= Eδa

. En notant de plus que, géométriquement,

a

2 ∼

_{= δR}

, où

δ

est l'enfoncement, déni sur la gure 2.4, on obtient :

a ∼

=

wR

E

_1/3

Uncalculrigoureuxdanslecas dedeuxmilieuxélastiquesde modulesd'Young

E

et

E

, de coecients de Poisson

ν

et

ν

et de rayons de courbure

R

et

R

conduit à :

a

2 = δR

∗

(2.3) et

a

=

3

4 wR

∗

E

∗

_1/3

(2.4)

où le moduleeectif

E

∗

est déni par :

1 E

∗

=

1 − ν

2 E

+

1 − ν

2 E

(2.5) et

1 R

∗

=

1 R

+

1 R

Ces résultatssontvalablesjusqu'àl'apparitionde ladéformationplastique

de la sphère, qui a lieu, d'après Tabor [15], lorsque la pression maximum de Hertz atteint une valeurde l'ordrede

H/

2

(avec

H

la duretédu milieu défor-mable), ce qui correspond à un enfoncement seuil :

δ

p

∼

= R

H

E

2

(20)

augmente, jusqu'à envahir la zone de contact. Dans cette limite de plasticité étendue, lesrelations (2.3)et (2.4) sont remplacéespar :

a

2 ∼

= 2δR

et

w

= πHa

2

2.2.2.2 Caractérisation des surfaces

La déterminationdes propriétés topographiques des surfaces (

φ

et

R

dans le modèle de Greenwood) a donné lieu a une littérature abondante (voir par

exemple [1921] etréférences citées),et pose diérents problèmes :

(i) les techniques de prolométrie 5

ont une bande passante nie, et four-nissent donc des informations sur la rugosité des surfaces dans une gamme

donnée de longueurs d'onde,

(ii) l'identication des sommets, et la mesure des rayons de courbure des aspérités, à partir d'un prol 1D ou 2D, sont des opérationsparticulièrement

sensibles aubruit 6

et nécessitent de ltrerles prols.

De nombreuses surfaces présentent une rugosité à de multiples échelles (voirparexemple[21]etréférences citées),etlaperted'informationinévitable

lorsde l'acquisitionet du traitementdes données topographiques conduitàla

question suivante:quelles sont,pourun problèmedonné,leslongueursd'onde pertinentes pour décrireune surface rugueuse?

En mécanique du contact, on s'attend à ce que la déformation plastique

des aspérités portant la charge ait pour eet d'écraser la rugosité aux plus petiteslongueursd'onde[18],etlarendeainsinonpertinentedansleproblème.

Persson [22] montre eectivement que dans le cas du contact entre un plan

et une surface auto-ane (i.e. qui présente une rugosité multi-échelle [23]), la prise en compte de la déformation plastique aux petites échelles conduit

à des résultats semblables à ceux obtenus par Greenwood, qui décrit, dans

son modèle, les surfaces rugueuses à l'aide d'une distribution gaussienne des hauteurs d'aspérités.

On trouve par ailleursque dans lecas de surfaces sablées [16], ou

prépa-rées par rôdage àl'aide d'unepâte abrasive 7

[24], la distributiondes hauteurs des sommets, déterminée par prolométrie mécanique ou optique, peut être

raisonnablement considérée comme gaussienne. On dénit la rugosité rms de

ces surfaces commel'écart type

s

de ladistribution des hauteurs :

s

2 =

1 L

L

0 z

2 dx

5

Prolomètresmécaniques,optiques,microscopeàforce atomique,... 6

Il est en eet nécessaire de dériver une fois le prol pour déterminer la position des sommets,et unedeuxièmefoispourobtenirleurcourbure.

(21)

où

L

est l'extension latérale du prol

z

(x)

de la surface. La distribution des hauteurs desommetsest égalementgaussienne,etsonécarttypeest del'ordre

de

s

[18].

Greenwoodsupposeennquelerayondecourbure

R

dumodèlecorrespond à la valeur moyenne des rayons mesurés à partir des prols [16,20]. Dans le

cas de leurs surfaces rôdées, Berthoud et Baumberger considèrent que

R

est de l'ordrede latailledes grainsabrasifs [24].

Unetelledescriptiondessurfaces,àl'aided'unrayondecourbureuniqueet

d'une échelle caractéristique de rugosité,bien qu'assezrudimentaire, permet

de rendrecompte correctement des propriétés mécaniques du contact, comme nous leverronslorsde l'estimationdelaraideurinterfacialeen cisaillementau

2.2.3.

2.2.2.3 Résultats du modèle de Greenwood

Lorsque les plans de références des deux surfaces sont distants de

h

(g. 2.3), lecontactalieuauniveaudesaspéritésdontlesommetétaitinitialement à une hauteur

z > h

, avec une probabilité :

P(z > h) =

_∞

h

φ

(z)dz

L'enfoncement de chaque aspérité est donné par

δ

= z − h

.

En comparantla rugosité

s

à l'enfoncement seuil

δ

p

, Greenwooddéni un indicedeplasticité

ψ

= (E/H)

s/R

quipermetd'évaluerlaproportion d'as-pérités déformées plastiquement : pour

ψ <

0.5

,la quasi-totalitédes contacts est élastique, alors quepour

ψ >

1

tous sont déformésplastiquement

8 .

Connaissantla distribution

φ

(z)

et la loi de déformation des aspérités, on peut calculerle nombre

N

de contacts, l'aire réelle

Σ

r

et la charge totale

W

. Pour une distribution des hauteurs d'aspérités

φ

(z)

exponentielle ou gaus-sienne

9

d'écart type

s

, il est possible d'éliminer simplement le paramètre

h

entre

N

,

Σ

r

et

W

(voir annexe A.1 page 125) et d'obtenir les deux résultats suivants.

Indépendammentdu modede déformationdes aspérités, c'està direquelle que soitla valeur de

ψ

:

(i)le nombre de contacts est proportionnelà lachargenormale,

N

∝ W

(2.6)

8

Pour une surface de PMMA de rugosité rms

s

∼ 1 µ

m,avec

R

20 µ

m et

H

= 400

MPa,

ψ

2.1

9

(22)

(ii)l'aire moyenne d'un microcontact

πa

ne dépend pas de

W

,

πa

2 = Σ

r

/N

= πsR

(2.7)

LemodèledeGreenwoodexpliqueainsilaproportionnalitéentrel'aireréelle

Σ

r

= Nπa

2

et

W

comme une conséquence des propriétés topographiques des surfaces. Le cas limite de la déformationplastique de l'ensemble des aspérités correspond à l'hypothèse de Bowden etTabor.

Le contact entre deux surfaces rugueuses (distributions des hauteurs de

sommets

φ

et

φ

d'écarts types

s

et

s

) et des matériaux diérents peut être traité en se ramenantaucas précédentdu contact entre un plan indéformable

et une surface rugueuse dont lescaractéristiques géométriques sont[18] :

s

∗

=

√

s

2 + s

2

les propriétés mécaniques étant caractérisées, en régime élastique, par le

mo-dule d'Youngeectif

E

∗

déni par(2.5), oupar une duretéeectiveen régime

plastique :

H

∗

= min(H, H

)

2.2.3 Raideur interfaciale en cisaillement

On peut alors utiliser le modèle de Greenwood comme un outil d'analyse

des propriétés statiques d'une interface entre solides rugueux.

Lorsqu'on applique sur les solides une force tangentielle très inférieure au

seuil statique,

F

s

,onmesureun déplacementrelatif

x

de leurs centres de massesnonnuletréversible[24,25],c'estàdiresansglissementàl'interface(g. 2.5a). Cette réponse élastique du système n'est pas gouvernée par la raideur

du volumedes solides, mais par ladéformationélastiquesous cisaillementdes

aspérités en contact 10

(g. 2.5b).

Dans lerégime où

F

et

x

sont proportionnels, onmesure une raideur tan-gentielle interfaciale

κ

= F/x

(2.8)

etontrouvedeplusqu'ellevarieproportionnellementàlachargenormale[24]:

κ

=

W

λ

(2.9)

où

λ

est une longueur dont l'ordre de grandeur typique est le micromètre, quasi-indépendamment de lanature des matériaux en contact [24].

10

Onmesureeneet,pourduPMMAsous

W

40

Nparexemple,uneraideurinterfaciale del'ordre

10

7

N.m

−1

,alorsquelaraideurencisaillementdublocutilisécommepatinvaut environ

5 × 10

8

N.m

−1

(23)

0

2

4

6

8

10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 F (N)

x (

µm)

x

f

w

(a) (b)

Fig. 2.5:(a)Déplacement

x

dupatinsoumisàuneforcetangentielle

F

,pouruneinterface PMMA/PMMA. La réponse de l'interface est élastique pour

F

4

N (d'après[24]). (b) Déformationdesaspéritéssouscisaillement.Pointillés:prolsnondéformés.Ledéplacement relatifdedeuxpointsdistantsdelazonedecontactest

x

.

Le modèle de Greenwood peut être étendu au cas d'une interface soumise à un faible cisaillement,etpermetd'estimer la longueur

λ

.

La déformation individuelle des aspérités sous cisaillement a été calculée

par Mindlin [26] dans le cas du contact élastique de deux sphères (modules d'Young

E

,

E

etcoecientsdePoisson

ν

,

ν

)

soumisesàuneforcenormale

w

et tangentielle

f

.Les hypothèsesdu calculde Mindlinsont lessuivantes (voir chapitre4 etannexe C.1) :

(i) le champ de contrainte normale calculé pour le contact de Hertz n'est

pas modié par laprésence de la forcetangentielle,

(ii)l'interfaceest nonglissantelàoùlacontraintetangentielle

q < µp

(avec

µ

un coecient de frottement local, et

p

la contrainte normale), et glissante partout ailleurs avec

q

= µp

.

Danslalimitedesforcestangentielles

f

faibles,ledéplacement

x

entredeux pointdistantsde l'interface (g. 2.5a) ne dépend pas de

µ

et vaut :

x

=

f

8a

2 − ν

G

+

2 − ν

G

(2.10)

avec

a

le rayon de la zone de contact et

G

(

)

= E

(

)

_/

2(1 + ν

(

)

le module de

cisaillement.

La raideur tangentielle

κ

i

d'un microcontact de rayon

a

i

est donc :

κ

i

= 8

2 − ν

G

+

2 − ν

G

₋₁

G

∗

a

i

(2.11)

(24)

En supposantl'interfaceconstituée de

N

contacts identiques etindépendants, de rayonmoyen

a

,la raideurinterfaciales'écrit :

κ

=

N

κ

i

= NG

∗

a

(2.12)

Selon le modèle de Greenwood,le nombre de contacts

N

est proportionnel à

W

, et

a

est constant, ce qui conduit à

κ

∝ W

. Le calcul de

N

et

a

permet d'obtenir

λ

:

λ ∼

=

H

∗

G

∗

√

sR

(2.13)

Cette expression est obtenue dans l'hypothèseoù lesaspérités sont toutes

dé-formées plastiquement.Notonsqu'elle faitintervenir

H

∗

et

G

∗

sousformed'un

rapport, qui varie beaucoup moins d'un matériau à l'autre que les propriétés mécaniques elles-même [27], ce qui explique que

λ

dépende peu de la nature des matériaux en contact. Pour un contact entre deux surfaces de PMMA de

rugosité micrométrique (

s

1 µ

m,

R

20 µ

m), onobtientainsi une longueur élastique

λ

≈ 1 µ

m,ce qui est parfaitementcompatible avec lesvaleurs expé-rimentales.

2.2.4 L'interface multicontacts : un système modèle

CommeBowden-TaboretGreenwoodl'ontmontré, lecaractère multicon-tacts del'interfacejoueunrôleessentieldanslacompréhensiondufrottement.

L'étude du frottement à une interface multicontacts ne se limite toutefois

pas à la mesure de deux nombres un seuil statique et un coecient de frottement dynamique mais nécessite, comme nous allons le voir dans la

suite, une caractérisationdétailléede la dynamique de glissement.

Lorsque deux solides rugueux glissent l'un sur l'autre, les microcontacts qui contribuent au frottement sont en permanence détruits et reformés entre

de nouvelles aspérités.Pourqu'une interfacemulticontactsprésenteune

dyna-mique reproductiblequi permette des mesures nes de laforce de frottement, il faut donc s'assurer que :

• N 1

, c'est à dire que le nombre de microcontacts est grand, pour garantir que la population d'aspérités en contact est statistiquement

constanteau coursdu glissement,

•

le réservoir d'aspérité est susant pour qu'une aspérité donnée soit impliquée peu de fois dans le contact. Ceci permet d'être peu sensible

auxeets cumulatifsd'usure,

(25)

Une conséquence de ces trois conditions est qu'un tel système est auto-moyennantet présente un très bonrapportsignal/bruit pour laforce de

frot-tement.

Les polymères vitreux ont des propriétés mécaniques qui permettent de se placer dans ces bonnes conditions de contact. Deux surfaces de PMMA,

préparées pourobtenir une rugositéd'amplitudemicrométrique(voirchapitre

3 3.1.1), formentsous une charge de l'ordre de 10 N une interface constituée d'environ 1000 contacts d'une taillemoyenne de quelques micromètres

11 . Ces

contacts, répartis sur une surface apparente d'environ 50 cm

2

, peuvent être

considérés comme indépendants [28] (leur densité est inférieure à un contact par mm

2

). C'est avec des interfaces multicontacts possédant ces

caractéris-tiques que letravailexpérimentalprésentédans cette thèse a été réalisé.

2.3 LES ÉCARTS SYSTÉMATIQUES AUX LOIS

D'AMONTONS-COULOMB

L'une des lois d'Amontons-Coulomb pose que, pour un couple donné de matériaux en contact, le coecient de frottement dynamique ne dépend pas

delavitesse.Ceciimpliquequelaforcedefrottementresteconstantelorsquela

vitesse tend vers zéro. Comment réconcilier cette proposition avec l'existence d'un seuil statique supérieur au niveau de frottementdynamique?

En réalité, les coecients de frottement statique et dynamique ne sont

pas constants:onobserveune dépendance de

µ

d

et

µ

s

avec,respectivement,la vitesseetletempspasséàl'arrêt.Cesvariationssontdefaibleamplitude

(typi-quementquelques % par décades de vitesse oude temps),mais ont d'énormes

conséquences sur le comportement dynamique d'un système frottant, et en particulier sur lastabilité du glissement.

2.3.1 Vieillissement géométrique

Le seuil de frottement statique

µ

s

déni comme la force tangentielle réduite maximum,

F

s

/W

, appliquée aupatin lors du chargement(g. 2.1) n'est pas une propriétéintrinsèqued'une interfacemulticontacts.Il dépenden

eet du temps

t

s

passéà l'arrêtavantde fairela mesure: pour des matériaux 11

Il est possibledese placer dansles mêmes conditionsen utilisantdes matériauxdont le module élastique ou la dureté sont plus élevés. Le nombre de contacts varie, d'après le modèle de Greenwood, comme

W/E

ou

W/H

, ce qui implique que pour obtenir 1000 contactsentredeuxsurfacesd'acier,ilfautappliquerunechargenormaledel'ordrede5000 N.Cesconditionssontréalisablesexpérimentalement(voirlesexpériencesdeDieterichsurdu granit [3]),maisnécessiteunéquipementmoins soupled'utilisationqueceluiemployédans cettethèse(raideurdusystèmedechargementdicileàfairevarier,bouclesd'asservissement

(26)

en contact aussi diérents que des polymères vitreux [6], du papier [5], des élastomères [8], des métaux[29] oudes roches[30], lesystème vieillit,c'est à

dire

µ

s

augmenteavec

t

s

,de façonquasi-logarithmique:

µ

s

µ

0 s

+ β

s

ln(

t

s

t

₀

)

(2.14)

où

t

0

est un temps de référence arbitraire.

Pour laplupartdes matériauxétudiés,

β

s

≈ 10

−2

àtempératureambiante.

Ce vieillissementest illustrésur lagure 2.6.

0.48

0.50

0.52

0.54

0.56

1

10

2

10

3 PMMA

β

_s

= 1.2

×10

– 2

t

s

(s)

µ

s

(a)

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

10 - 2

10 - 1

1

10

2

10

3 A c i e r

β

_s

= 2.8

×10

– 2

t

s

(s)

µ

s

(b)

0.35

0.40

0.45

0.50

1

10

2

10

3 Carton bristol

β

_s

= 1.5

×10

– 2

µ

s

t

s

(s)

(c)

0.75

0.78

0.82

0.85

1

10

2

10

3

10

4

10

5 Grès

β

_s

= 6.4

×10

– 3

µ

s

t

s

(s)

(d)

Fig. 2.6: Augmentation du coecient de frottement statique avec le temps

t

s

passé à l'arrêt, pourquatrematériaux:(a)PMMA(polymèrevitreux),(b)acier(d'après[29]), (c) cartonbristol,(d)grès(d'après[31]).

Selonlessystèmesétudiés,lacroissancede

µ

s

avec

t

s

,logarithmiquesurun large intervallede temps,peut présenter un plateauaux tempsd'arrêtlesplus

courts accessibles expérimentalement : c'est ce que l'on observe par exemple avec le PMMA lorsque la température

T

∼ T

g

[6]. Ceci suggère d'écrire le

(27)

coecientde frottement statique :

µ

s

(t

s

) = µ

s

0 + β

s

ln

1 +

t

s

τ

(2.15)

avec un temps de coupure

τ

min(t

s

)

à température ambiante.

2.3.2 Aaiblissement cinétique et stick-slip

En glissement stationnaire, le coecient de frottement dynamique

µ

d

dé-pend de lavitesse. Enparticulier, pour lesvitesses de glissementfaibles, typi-quement dans une gamme 0.1100

µ

m.s

−1

,

µ

d

décroîtavec

V

, de façon quasi-logarithmique (g. 2.7) :

µ

d

∼

= µ

d

0 − β

d

ln(

V

₀

)

(2.16)

où

V

0

est une vitesse de référence arbitraire.

Pour tous lessystèmes étudiés(roches [30],papier [5], élastomères[8],

mé-taux[27], polymèresvitreux [7]),lapente

β

d

est de l'ordrede

10 −2

à tempéra-ture ambiante.

0.36

0.40

0.44

0.48

0.01

0.1

1

10

100 µ

d

V (

µm.s

- 1

)

PMMA

β

_d

=1.4 x 10

- 2

Fig. 2.7: Coecient de frottement dynamique en fonction de la vitesse d'entraînement, en régime de glissement stationnaire, pour une interface PMMA/PMMA à température ambiante[7].

Àplushautesvitesses(

V >

100 µ

m.s

−1

),laforcede frottementdynamique

sature, et éventuellement croît avec

V

[5].

Dans le régime basse vitesse, la caractéristique

µ

d

(V )

à pente négative impliquequetouteuctuationde lavitesseautourdesavaleurstationnaireest

(28)

décroissancede

µ

d

aveclavitesse estdonclemoteurdustick-slip (alternance de phases statiques et glissantes), instabilitéfréquemment rencontrée et dont

la manifestation va des grincementsaux tremblementsde terre.

Ilesttoutefoisbienconnuentribologiequ'onpeutsupprimerlesoscillations

de stick-slipenutilisantunemachinesusammentraide[27].C'estcequinous

permetde mesurer

µ

d

(V )

dans lerégime d'aaiblissementcinétique.

2.3.3 Bifurcation entre glissement stationnaire et stick-slip

Plusieurs investigationsexpérimentales systématiques [5,7,25] de la stabi-lité du glissement basse vitesse montrent que celle-ci est contrôlée non

seule-ment par la vitesse

V

, mais égalementpar la raideur

K

du système d'entraî-nement et par la charge normale

W

(plus exactement par le rapport

K/W

).

0.012

0.016

0.020

0.024

0.1

1

10

100 K/W (

µ

m

-1

)

V (

µm.s

- 1

)

stick-slip

stationnaire

(a)

0

5

10

15

20

25

30

5 µ

m

é

longation ressort

K/W croissant

→

t (s)

(b)

Fig. 2.8: (a) Diagramme de phase dynamique dans l'espace des paramètres (

K/W

,

V

). Les deux régimes de glissement sont séparés par la ligne de bifurcation

k

= k

c

(V )

. (b) Allongementduressortdechargeen fonctiondutempslorsque

K/W

augmente,pourune interfacebristol/bristol à

V

= 1 µ

m.s

−1

. Un décalage vertical arbitraireaété eectué sur lesdiérentestracespourfaciliter lalecture.

Lediagramme de phase dynamique(

K/W

,

V

) obtenudans ces diérentes études présentedeux régions (g. 2.8a) : pour les basses vitesses et lesfaibles

valeurs de

k

= K/W

, onobserve du stick-slippériodique (g. 2.8b), alors que pour les valeurs de

V

et/ou

k

plus élevées le glissement est stationnaire. Ces deux régions sont séparées par une ligne de bifurcation

k

= k

c

(V )

. La bifur-cation entre les deux régimes dynamiques est continue et réversible; à partir

du régime de stick-slip, si on augmente

k

ou

V

, l'amplitude des oscillations diminue et s'annule lorsque

k

≥ k

c

(g. 2.8b) ou

V

≥ V

c

.

(29)

2.3.4 Hystérésis de frottement et longueur de mémoire

Les résultats expérimentaux ci-dessus révèlent que la force de frottement

n'est pas simplement une fonction décroissante de la vitesse de glissement instantanée

˙x

. Ceci est clairement illustré par la nature hystérétique de la réponsetangentielleàuncycleaccélération/décélération,présentéesurlagure

2.9.

0.24

0.25

0.26

0.27

0.28 -5

0

5

10

15 accélération …

x (

µm.s

- 1

)

… décélération

stationnaire

F / W

Fig. 2.9:(

◦

):coecientdefrottementenfonctiondelavitesseinstantanéelorsd'uncycle accélération/décélération. (

•

) : coecient de frottement dynamique mesuré en glissement stationnaire.Interfacebristol/bristolàtempératureambiante.

Cette réponse hystérétique met en évidence le faitque lesystème garde la mémoire de l'histoiredu glissement.

Dieterichamontréenoutrequeceteetdemémoireestcaractérisépar une

longueur [3] : lors d'un saut de vitesse d'entraînement de

V

1

à

V

2

, le système atteintsonétat stationnairenalaprès avoirglissésur unedistance

caractéris-tique

D

0

,del'ordredequelquesmicromètres.Lerésultatd'unetelleexpérience est présenté, pour une interfacePMMA/PMMA, sur lagure 2.10.

Dieterich a interprété cette longueur

D

0

comme la distance glissée néces-saire pour renouvelercomplètementlapopulationdes aspérités qui portentla

charge [3].

Il faut enn remarquer que lors d'un saut de

V

1

à

V

2 > V

1

, la force de frottement augmente transitoirement

12

avant de rejoindre son niveau

station-naire

F

(V

2 ) < F (V

1 )

, comme cela est illustré sur lagure 2.10. Ce transitoire est qualié d'eet direct. La hauteur

∆µ

du pic de frottement dépend des vitesses initialeet nale:

∆µ ∝ ln

V

₂

V

₁

(2.17) 12

(30)

0.32

0.36

0.4

0.44

16

16.5

17

17.5 F / W

temps (s)

D

0 /V

2 ∆ µ

V

1 =0.5

µm.s

- 1

V

2 =50

µm.s

- 1

Fig.2.10:Réponsetransitoirelorsd'unsautdevitesse,pouruneinterfacePMMA/PMMA àtempératureambiante.

K

= 0.16

N.

µ

m

−1

,

W

= 7

N.

2.4 LE MODÈLE PHÉNOMÉNOLOGIQUE DE RICE ET RUINA

Ens'appuyantsur lesrésultatsde Dieterich,Ruinaet Riceontproposé un

modèle phénoménologique du frottement non stationnaire [4], dans lequel la force de frottement dépend de la vitesse instantanée de glissement

˙x

et d'une variabled'état

φ

:

F

( ˙x, φ) = W

µ

₀

+ A ln

˙x

V

₀

+ B ln

φV

₀

D

₀

(2.18)

où

A

et

B

sont des constantes positives, et

µ

0

est la valeur du coecient de frottementàlavitesse de référence

V

0

.Lalongueur

D

0

correspond, commel'a proposé Dieterich, à la distance nécessaire pour renouveler la population des

microcontacts.

Lesdeux corrections à

µ

0

ont chacune un rôle distinct:

(i) Le terme

A

ln( ˙x)

permet de rendre compte de l'eet direct : il tra-duit les variations instantanées de la force de frottement avec la vitesse, à

φ

constant.

(ii) Le terme

B

ln(φ)

décrit l'augmentation de la force de frottement avec la variabled'état

φ

, dontl'évolutiontemporelleest donnée par l'équation :

˙φ = 1 − ˙

xφ

D

₀

(2.19)

Lorsque la vitesse de glissement est nulle,

φ

= t

: la variable dynamique croît comme letemps passé à l'arrêt.En glissementstationnaire à

˙x = V

,

φ

s'iden-tie à

D

0 /V

. Autrement dit,

φ

= D

0 /V

correspond au temps de vie, ou à

(31)

En utilisant l'expression (2.18) de la force de frottement, l'équation de mouvement du centre de gravité du patin (masse

M

), entraîné sur une piste par un ressort de raideur

K

, s'écrit:

M

¨x = K(V t − x) − W

µ

₀

+ A ln

˙x

V

₀

+ B ln

φV

₀

D

₀

(2.20)

Onpeutalorsétudierlastabilitéduglissementstationnairepourlesystème

régi par les équations (2.19) et (2.20). L'analyse de stabilité linéaire, dont le

détail est présenté dans l'annexe A.2, prédit une bifurcation de Hopf directe

(continue etréversible), en accord avec les observations expérimentales. Dansle régimede glissement stationnaireoù

φ

= D

0 /V

,la pente logarith-mique de

µ

d

(V )

vaut, d'après(2.18) :

β

d

= −

dµ

d

ln V

= B − A

L'existence d'une bifurcation exige que

dµ

d

/d

ln(V ) < 0

, ce qui implique que

B

− A > 0

.

La position de la bifurcation est déterminé par la valeur du paramètre critique

χ

c

=

KD

₀

W

c

= −

dµ

d

ln V

Lorsque

χ < χ

c

, le glissement est instable vis-à-vis d'une perturbation de la vitesse.

Enn, lapulsationcritiquedes oscillationsde stick-slipauseuilde l'instabilité s'écrit :

Ω

c

=

V

D

₀

χ

c

A

Tous les paramètres du modèle peuvent donc être déterminés

expérimen-talement, à partir de la mesure de la pente

β

d

et des caractéristiques de la bifurcation

13 .

Unefoisces paramètresidentiés, lemodèlepeut êtreutilisépour analyser

diérentes situationsdynamiques :réponse lorsd'un saut de vitesse [7], tran-sitoire d'arrêt [32], caractéristiques non-linéaires du stick-slip au voisinage de

la bifurcation[33].

L'accord quantitatifobtenu dans ces diérents cas entre le modèle, désor-mais sans paramètre ajustable, etles expériences est très satisfaisant. Le

mo-dèle de Rice et Ruina apparaît donc commeun outil ablepour la prédiction

du comportementdynamique d'uneinterface multicontacts.

(32)

2.5 ANALYSE PHYSIQUE DU MODÈLE DE RICE ET RUINA

2.5.1 Vieillissement géométrique par uage

Laconclusion de BowdenetTabor,qui indique qu'àl'interface entre deux

solides rugueux la contrainte normale sur les microcontacts 14

est de l'ordre

de la dureté, a une conséquence importantesur la déformationdes aspérités. Sollicitéesàun niveaudecontrainteprochede lalimiteplastiquedu matériau,

ellesuent,c'estàdirequ'ellessedéformentlentement,etdefaçonirréversible,

au cours du temps 15

. Le uage en volume des aspérités entraîne alors une augmentation de l'aire réelle de contact,

Σ

r

, avec le temps écoulé depuis la formation des microcontacts [27].

Enécrivantlaforcede frottement,selon larelation(2.1) de Tabor,comme le produit d'une contraintepar l'aire de contact,

F

= σ

s

Σ

r

, on voit que plus letemps passéàl'arrêtest long, plusl'aire decontact est grande,pluslaforce

de frottement est élevée : l'interface vieillit. Reprenons alors l'expérience de la gure2.1 :

(i)lorsqu'on chargele patin, après un temps d'arrêt

t

s

donné, leseuil sta-tique correspond à

F

s

∼

= σ

s

Σ

r

(t

s

)

.

(ii)Quandlepatinestenmouvement,lesmicrocontactsquiontuéàl'arrêt

sontgraduellementdétruits,etaudelàd'unedistanceglissée

D

0

micrométrique [3,13], ils sont entièrementrenouvelés et sont donc formés entre des aspérités qui n'ont pas encore ué. Dès que le temps d'arrêt

t

s

> D

0 /V

, l'aire réelle de contact, après avoir glissé de

D

0

, est ainsi inférieure à

Σ

r

(t

s

)

, et la force de frottementdynamique est inférieure à laforce statique.

Enrésumé,uneinterfacemulticontactsvieillitparuage,parcontrele

glis-sementrajeunitl'interfaceen renouvelantles aspéritésen contact. L'existence

d'un picdefrottementstatiqueest lasignatureexpérimentalelaplus clairede ce vieillissement/rajeunissement.

2.5.1.1 Augmentation du seuil statique

Lacroissancede l'airedecontact dueauuagedes aspéritésaétéobservée

in situ, dans une expérience de visualisation des microcontacts entre deux

surfaces rugueuses de PMMA,réalisée parDieterichetKilgore[13] (g. 2.11). Ces auteurs ont observé une augmentation quasi-logarithmiquede

Σ

r

avec le temps de contact, en accord qualitatifavec la croissance du pic de frottement

statique

µ

s

mesuré sur le même système. 14

Oudumoinssurunepartie d'entreeux,d'aprèslemodèledeGreenwood. 15

C'est pour cela queles mesuresde duretésontdénies àuntemps de contact donné. Latailledel'empreintelaisséeparunindenteuraugmenteeneet,paruage,avecletemps

(33)

Fig. 2.11: Visualisation in situ des microcontacts, sous charge normale macroscopique constante[13].Enrougeestreprésentél'airedecontact1saprèslaformationdel'interface. En jauneestportéesonaugmentationentre1et100s,etenbleul'augmentationentre100 et 10000s.

Berthoudet al.ontmontréde plus quel'augmentationde