Exercice 4 : Convergence de la suite

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Devoir surveill´ e n˚5

Dur´ee : 2 heures

L’usage de la calculatrice est interdit.

Le bar`eme prendra significativement en compte :

• la pr´esentation,

• la clart´e des explications,

• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,

• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.

Exercice 1 : Le produit de deux matrices inversibles est inversible

Soitnun entier naturel non nul. On noteMn(R) l’ensemble des matrices n×n`a coefficients r´eels.

1. SoitA∈ Mn(R). Donner la d´efinition de l’assertion :Aest inversible.

2. Soient P∈ Mn(R) etQ∈ Mn(R). On suppose que les matrices P et Qsont inversibles.

Montrer que la matriceP Qest inversible et exprimer la matrice (P Q)⁻¹ en fonction deP⁻¹ et deQ⁻¹.

Exercice 2 : Puissances d’une matrice et suites

1. Soient les matrices 2×2 `a coefficients r´eels A= Å1 2

2 1 ã

etP =

Å1 1 1 −1

ã . (a) Calculer le produitA P.

(b) Montrer que la matriceP est inversible et calculerP⁻¹. (c) Calculer la matriceD=P⁻¹A P.

(d) ExprimerAen fonction deD,P etP⁻¹. (e) CalculerDⁿ, pour toutn∈N.

(f) Montrer que pour toutn∈N:Aⁿ =P DⁿP⁻¹. (g) En d´eduire la valeur deAⁿ, pour toutn∈N.

2. On d´efinit deux suites (un)_n∈N et (vn)_n∈Nparu0= 2,v0=−1 et les relations de r´ecurrence : ß un+1 = un + 2vn

vn+1 = 2un + vn

valables pour toutn∈N. Pour toutn∈N, on noteXn=

Åun

vn

ã . (a) Donner le vecteurX0.

(b) Calculer le vecteurX1.

(c) Soitn∈N. Reconnaˆıtre le produitA X_n. (d) Montrer que pour toutn∈N:X_n=AⁿX₀.

(e) En d´eduire une expression de u_n en fonction de n, pour tout n ∈ N et une expression de v_n en fonction den, pour toutn∈N.

1

Exercice 3 : ´ Etudes de fonctions

1. Soitg la fonction d´efinie par :

g: ]0,+∞[→R; x7→xln(x)−x+ 1.

(a) ´Etudier les limites ´eventuelles de gaux bornes de son ensemble de d´efinition.

(b) Justifier quegest d´erivable sur ]0,+∞[.

(c) Calculerg⁰(x), pour toutx∈]0,+∞[.

(d) D´eterminer le sens de variation de la fonctiong sur ]0,+∞[.

(e) En d´eduire le tableau de signes deg sur ]0,+∞[.

2. Soitf la fonction d´efinie par :

f: ]1,+∞[→R; x7→ ln(x) x−1. (a) ´Etudier la limite ´eventuelle de f en +∞.

(b) ´Etudier la limite ´eventuelle de f en 1⁺. Que peut-on d´eduire de cette ´etude ? (c) Justifier quef est d´erivable sur ]1,+∞[.

(d) Soitx∈]1,+∞[. Calculerf⁰(x) et exprimer le r´esultat en fonction deg(x).

(e) D´eterminer le sens de variation de la fonctionf sur ]1,+∞[.

Exercice 4 : Convergence de la suite

Ç

1 + 1 1! + 1

2! + 1

3! + . . . + 1 n!

å

n∈N^∗

Pour toutn∈N^∗, on pose :

un = 1 + 1 1!+ 1

2!+ 1

3!+. . .+ 1 n!. 1. Soitn∈N^∗. On d´efinit la fonctionf par :

f: [0,1]→R; x7→e^−x Å

1 + x 1!+x²

2! +x³

3! +. . .+xⁿ n!

ã .

(a) Donner la valeur def(0), puis une expression de def(1) en fonction deu_n. (b) Justifier quef est d´erivable sur [0,1].

(c) Montrer, en d´etaillant les calculs, que pour toutx∈[0,1], on a :f⁰(x) =−e^−x xⁿ n!. (d) En d´eduire que pour toutx∈[0,1] :|f⁰(x)| ≤ 1

n!.

(e) ´Enoncer le th´eor`eme des accroissements finis (premi`ere ou deuxi`eme forme).

(f) D´emontrer que :

un

e −1

≤ 1

n!. 2. Montrer que pour toutn∈N^∗ :|un−e| ≤ e

n!. 3. En d´eduire que la suite (un)n∈Nconverge verse.

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