Universit´ e du Littoral 2017-2018
Master 1 ` ere ann´ ee MEEF
Tices – Examen
Exercice 1 (4 points). Le but de cet exercice est l’´ etude de la suite (u
n)
n∈Nd´ efinie par u
0= 0, u
1= 1 et u
2= 2 et u
n= 4u
n−1− u
n−2− 6u
n−3.
1. Calculer les 20 premiers termes de la suite ` a l’aide d’un tableur.
Pour n ∈ N , on note U
nle vecteur
u
nu
n−1u
n−2
.
2. D´ eterminer la matrice A v´ erifiant U
n+1= A × U
n. 3. D´ eterminer U
nen fonction de A et de U
2.
4. Calculer, ` a l’aide de Xcas, les valeurs propres de A.
5. D´ eterminer une matrice P inversible P et une matrice diagonale D tel qu’on ait A = P DP
−1. 6. Calculer A
npour tout n ∈ N .
7. Donner une expression de u
nne d´ ependant que de n pour n ∈ N .
8. V´ erifier la formule obtenue ` a l’aide du tableur pour les 20 premi` eres valeurs de u
n.
Exercice 2 (4 points). Pour cet exercice vous devez utiliser GeoGebra.
1. Cr´ eer un triangle ´ equilat´ eral ABC avec A = (0, 0), B = (4, 0) et tel que C soit au dessus de la droite des abscisses.
2. Placer un point D sur le segment AC. Cr´ eer un point E sur le segment BC tel que || AD|| ~ = || CE||. ~ 3. Cr´ eer la droite (DE) en bleu avec une ´ epaisseur de trait valant 1. Activer la trace de (DE). Que
constatez vous lorsque vous d´ eplacez D le long du segment [AC].
4. Conjecturer la construction g´ eom´ etrique (utilisant seulement le triangle) d’une droite parall` ele ` a l’axe des abscisses passant par le sommet de la parabole. Tester votre conjecture.
5. En d´ eduire une possible ´ equation pour la parabole. Cr´ eer une parabole avec l’´ equation trouv´ ee.
6. Construire deux droites parall` eles ` a l’axe des ordonn´ ees passant par l’int´ erieur du triangle. Cr´ eer deux rayons rouge port´ es par ces droites venant du bas et s’arrˆ etant sur la parabole.
7. Construire en rouge le reflet de ces deux rayons apr` es avoir touch´ e la parabole. Cr´ eer F le point d’intersection des reflets. Le point F est le foyer de la parabole.
8. Quel point particulier du triangle F semble t-il ˆ etre ?
Exercice 3 (3 points). Cr´ eer des proc´ edures GeoTortue 1. Permettant de tracer un rectangle de cˆ ot´ es a et b donn´ es.
2. Permettant de dessiner un quadrillage n × n avec une maille de taille a, les entier n et a seront des param` etres.
Exercice 4 (4 points). Le but de cet exercice est l’utilisation du crible d’Eratosth` ene.
1. A l’aide du crible d’Eratosth` ene, d´ eterminer sur papier la liste des nombres premiers inf´ erieurs ou ´ egaux ` a 20
2. Cr´ eer une fonction Python eratosthene(n) retournant la liste des nombres premiers inf´ erieurs ou ´ egaux ` a n. La fonction devra utiliser le crible d’Eratosth` ene.
1
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