Exercice 1.1 Matrices inversibles Soit A = a b

UNS Option math 2 L1 2017-2018 1. Géométrie vectorielle euclidienne en dimension 2 et 3

Exercice 1.1 Matrices inversibles Soit A = a b

c d

une matrice à coecients réels. Le déterminant de la matrice A est déni par det(A) = ad −bc . On rappelle que la matrice A est inversible si et seulement si il existe une matrice B de taille 2 × 2 telle que BA = AB = I 2 .

1. Calculer A ² − (a + d)A + det(A)I ₂ . 2. Soit B =

a ⁰ b ⁰ c ⁰ d ⁰

une autre matrice à coecients réels. Montrer que det(AB) = det(A) det(B) . 3. Déduire des deux questions précédentes que A est inversible si et seulement si det(A) 6= 0 .

4. Montrer que, s'il existe une matrice B telle que BA = I 2 ou AB = I 2 , alors la matrice A est inversible.

5. Montrer que, si une matrice B telle que BA = AB = I ₂ existe, alors elle est unique. On l'appelle l'inverse de A et on la note A ⁻¹ .

6. Si A est une matrice inversible, donner une formule pour l'inverse de la matrice A à l'aide de la question 3.

Exercice 1.2 Orthogonal d'une partie 1. Notons w le vecteur de R ³ de coordonnées



 1 1 1



. On considère le sous-espace vectoriel V = w ^⊥ de R ³ .

(a) À votre avis et sans calcul, quelle sera la dimension de cet espace ? Expliquez votre réponse à l'aide d'un dessin.

(b) Déterminer une équation et une base (u, v) de cet espace vectoriel.

(c) En déduire une base orthonormée (e ₁ , e ₂ ) de V .

(d) On note w ₁ , w ₂ et w ₃ les vecteurs de R ³ de coordonnées respectives



 1 1 2



 ,



 2

−3 1



 ,



 2 3 1



 .

Parmi ces vecteurs, lesquels appartiennent à V ? Pour chaque vecteur appartenant à V , déter- miner ses coordonnées dans les bases (e 1 , e 2 ) puis (u, v) .

2. Mêmes questions pour le sous-espace vectoriel V ⁰ = w ^0⊥ , où w ⁰ est le vecteur de R ³ de coordonnées



 1

−1 0



 .

Exercice 1.3 Projections orthogonales Pour un sous-espace vectoriel V de R ³ , on note p V la projection orthogonale sur V .

1. On suppose que V est le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs de u = ^{√ 1}

2 .





−1 1 0



 et v = ^{√ 1}

3 .



 1 1 1



. On note w = ^{√ 1}

6 .





−1

−1 2



.

(a) Montrer que la famille (u, v, w) est orthonormée.

(b) Quelle est la dimension de V ? Justier votre réponse.

(c) Déterminer la matrice de la projection p V dans la base (u, v, w) .

(d) Déterminer la matrice de la projection p V dans la base canonique de R ³ . 2. Soit V ⁰ l'espace vectoriel engendré par les vecteurs



 1 1 0



 et



 2 0 1



 .

(a) Quelle est la dimension de V ⁰ ? Justier.

(b) Calculer la matrice de la projection p V

dans la base canonique de R ³ .

3. Calculer la matrice des applications linéaires p V ◦ p V

et p V

◦ p V dans la base canonique.

Exercice 1.4 Complétion de familles orthonormées 1. On note u =

1 1

. Déterminer l'ensemble des vecteurs v unitaires et orthogonaux à u . On illustrera la réponse à l'aide d'un dessin. Dans quels cas la base orthonormée ( ^{√ 1}

2 u, v) est-elle directe ? 2. Notons (i, j, k) la base canonique de R ³ . Compléter la famille ( ^{√ 1} ₂ (−i + j), k) en une base ortho-

normée directe.

3. Notons u = i + j + k . Déterminer des vecteurs e 1 , e 2 et e 3 de sorte que e 1 ∈ Vect(u) et que la famille (e 1 , e 2 , e 3 ) soit une base orthonormée directe.

4. Déterminer une base orthonormée directe (e ₁ , e ₂ , e ₃ ) de R ³ telle que les vecteurs e ₁ et e ₂ appar- tiennent à Vect(u, v) , où u = i + k et v = i + j + k .

5. Déterminer une base orthonormée directe (e ₁ , e ₂ , e ₃ ) de R ³ telle que les vecteurs e ₁ et e ₂ appar- tiennent à Vect(u, v) , où u = −i + j + k et v = i + j + k .

Exercice 1.5 Droites du plan Soit V ⊂ R ² . Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes.

1. V est l'orthogonal d'un vecteur non nul.

2. V est l'ensemble des solutions d'une équation de la forme ax + by = 0 , avec (a, b) 6= (0, 0) . 3. V est une droite vectorielle de R ² (c'est-à-dire un sous-espace vectoriel de dimension 1 ).

Exercice 1.6 Plans de l'espace Soit V ⊂ R ³ . Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes 1. V est l'orthogonal d'un vecteur non nul.

2. V est l'ensemble des solutions d'une équation de la forme ax + by + cz = 0 , avec (a, b, c) 6= (0, 0, 0) . 3. V est un plan vectoriel de R ³ (c'est-à-dire un sous-espace vectoriel de dimension 2 ).

Exercices faits en cours et démonstrations de propriétés du cours Exercice C 1.1 Théorème de Pythagore et formules.

1. Montrer que, pour tous vecteurs u et v de R ³ , ku + vk ² − ku − vk ² = 4 < u, v > .

2. Montrer que deux vecteurs u et v de R ³ sont orthogonaux si et seulement si ku + vk ² = kuk ² +kvk ² . Exercice C1.2 Orthogonal d'une partie Soit A ⊂ R ³ . Montrer que A ^⊥ est un sous espace vectoriel de R ³ .

Exercice C1.3 Familles orthonormées On note (e 1 , e 2 ) la base canonique de R ² et (i, j, k) la base canonique de R ³ . Parmi les familles suivantes de vecteurs de R ² ou R ³ , déterminer lesquelles sont ortho- normées.

F ₁ = (e ₁ + e ₂ , −e ₁ + e ₂ ) F ₂ =

√ 1

2 e ₁ + ^{√ 1}

2 e ₂ , ^{√ 1}

2 e ₁ − ^{√ 1}

2 e ₂

F ₃ =

−1 √ 2 i + ^{√ 1}

2 j, k, i F ₄ =

√ 1 2 i + ^{√ 1}

2 j, k, ^{√ 1}

2 i − ^{√ 1}

2 j

Exercice C1.4 Bases orthonormées

1. Montrer qu'une famille orthonormée de 3 vecteurs de R ³ est une base de R ³ .

2. Soit (e 1 , e 2 ) une famille orthonormée de vecteurs de R ³ . Soit x ∈ Vect(e 1 , e 2 ) . Montrer que les coordonnées de x dans la base (e 1 , e 2 ) sont (< x, e 1 >, < x, e 2 >) .

3. On xe une base orthonormée (e ₁ , e ₂ , e ₃ ) de R ³ . On note x = x ₁ e ₁ + x ₂ e ₂ + x ₃ e ₃ et y = y ₁ e ₁ + y 2 e 2 + y 3 e 3 . Montrer que < x, y >= x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 .

Exercice C1.5 Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt On note u =





−1 1 1



 et v =



 2 1 0



 .

On note V le sous-espace vectoriel de R ³ engendré par les vecteurs u et v : V = Vect(u, v) .

1. Justier pourquoi V est un sous-espace de dimension 2 .

2. À l'aide du procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt, déterminer une base orthonormée de V .

Exercice C1.6 Bases directes/ indirectes On note (e ₁ , e ₂ , e ₃ ) la base canonique de R ³ . Déterminer, parmi les familles suivantes (u, v, w) de vecteurs, lesquelles constituent une base de R ³ . Lesquelles sont des bases directes ?

1. u = e ₁ + e ₂ , v = e ₁ + e ₃ et w = −e ₁ + e ₂ − 2e ₃ . 2. u = e ₂ , v = e ₃ et w = e ₁ .

3. u = e ₂ , v = e ₁ + e ₂ et w = e ₃ . Exercice C1.7 Déterminant et base

1. Montrer que si une famille (u, v) de deux vecteurs dans R ² est liée, alors det(u, v) = 0 . Interpréter géométriquement ce résultat. En déduire que, pour une famille (u, v) de vecteurs de R ² , si det(u, v) 6=

0 , alors (u, v) est une base de R ² .

2. Soit (u, v) une famille de deux vecteurs de R ² . Montrer que, si det(u, v) = 0 , alors cette famille est liée.

Exercice C1.8 Calculs de produits vectoriels On note (e, f, g) la base canonique de R ³ . Dans chacun des cas suivants, calculer u ∧ v , < u ∧ v, u > et < u ∧ v, v > .

1. u = e et v = f

2. u = e + f + 2g et v = −2e − 2f + 4g . 3. u = 3e − 3f + 2g et v = e + f + g .

Exercice C1.9 Produit vectoriel et orthogonalité

1. Montrer que, pour tous vecteurs u , v et w de R ³ , < u ∧ v, w >= det(u, v, w) .

2. Montrer que, pour tous vecteurs u et v de R ³ , le vecteur u ∧ v est orthogonal à u et à v . 3. Montrer que, étant donnés deux vecteurs u et v de R ³ , ku ∧ vk ² + < u, v > ² = kuk ² kvk ² .

4. Montrer que, si (u, v) est une famille orthonormée de R ³ , alors (u, v, u ∧v) est une base orthonormée de R ³ .

Pour aller plus loin

Exercice. Propriétés de l'orthogonal d'une partie Soient V et V ⁰ des sous-espaces vectoriels de R ³ . Montrer les propriétés suivantes :

1. (V ^⊥ ) ^⊥ = V .

2. (V + V ⁰ ) ^⊥ = V ^⊥ ∩ V ^0⊥ . 3. (V ∩ V ⁰ ) ^⊥ = V ^⊥ + V ^0⊥ .

Si V est seulement un sous-ensemble de R ³ , que peut-on dire de (V ^⊥ ) ^⊥ ?

Exercice. Distance à un sous-espace Soit V un sous-espace vectoriel de R ³ . Pour un vecteur w de R ³ , on note d(w, V ) = inf {kw − vk , v ∈ V } .

1. Montrer que, pour tout vecteur w de R ³ , d(w, V ) = kp _V

(w)k . 2. Calculer d(w, V ) dans le cas où w est le vecteur de coordonnées



 1 0 1



 et V est le plan d'équation

x + y + z = 0 puis dans le cas où w est un vecteur quelconque.