Universit´e du Littoral Ann´ee universitaire 2013-2014
Licence 2 `eme ann´ee Informatique
Alg`ebre
S´eance 4 : D´eterminants
Exercice 1. 1. Calculer le d´eterminant des matrices A =
2 3 5 1 0 1 2 1 0
B =
0 1 1
−1 4 5 3 2 1
C =
9 1 1 0 4 5 0 0 1
D =
1 1 1
−1 4 0 0 2 0
2. Quelles matrices sont inversibles ?
Exercice 2. Trouver toutes les valeurs de y ∈ R pour que le parall´elogramme d´etermin´e par les sommets (0, 0), (3, 1) et (4, y) soit de volume 3.
Exercice 3. V´erifier par le calcul d’un d´et´erminant si les syst`emes homog`enes suivants admettent des solutions non-triviales :
3x + 7y = 0
−4x + 8y = 0
3x + 7y − 2z = 0
−4x + 8y = 0
−2x + 30y − 4z = 0
3x + 7y − 2z + w = 0
−4x + 8y + w = 0
−2x + 30y − 4z + w = 0 x + y − z = 0 Exercice 4. D´eterminer les valeurs de λ ∈ R pour que les matrices suivantes soient inversibles :
A =
λ − 3 −2
−2 λ − 2
B =
1 2 4 3 1 6 λ 3 2
C =
1 λ 1 0 λ 1 2 λ 1
Exercice 5.
D´eterminer les valeurs de λ ∈ R pour que les syst`emes homog`enes suivants admettent des solutions non-triviales :
x + 7y − 2z = 0
−4x + 8y + λz = 0
−2x + 30y − 4z = 0
x + 2y − 2z = 0
−x + λz = 0
−2x + λy − 4z = 0
Exercice 6. Donner les valeurs de z ∈ R pour que le triple (1, 1, z) appartienne `a h(2, 0, 1), (2, 2, 2)i dans R
3.
1
