Exercice 1. Soient les matrices A =

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UNIVERSIT ´ E PIERRE ET MARIE CURIE Ann´ ee 2008/2009

MIME 13 LM 120

Feuille d’exercices 10

Exercice 1. Soient les matrices A =

2 −2

1 4

et B = 3 4

1 2

Calculer les d´ eterminants des matrices A, B, AB et A + B.

V´ erifier que det(AB) = det(A) det(B) et det(A + B) 6= det(A) + det(B).

Exercice 2. Caluler les d´ eterminants suivants :

D

1

=

1 0 3

2 0 4

3 −1 1

D

2

=

0 a 0 0 0 b c 0 0

D

3

=

1 √

29 arctan(5) 3

−1 π + e 12 −3

1 123 i 3

2 cos(5) −2 6

D

4

=

x x + 1 x + 2 x + 1 x + 2 x + 3 x + 2 x + 3 x + 4

D

5

=

0 0 0 4

0 0 2 −1

0 3 2 1

−5 4 −1 1

Exercice 3. Soit le d´ eterminant :

D(x) =

1 a a

²

a

³

1 b b

²

b

³

1 c c

²

c

³

1 x x

²

x

³

o` u a, b, c sont trois r´ eels distincts.

a) Montrer que D est un polynˆ ome de degr´ e 3 en x.

b) Montrer que D(a)=0, en d´ eduire qu’il existe une constante k telle que D(x) = k(x − a)(x − b)(x − c).

c) Prouver que D(x) = (a − b)(a − c)(b − c)(x − a)(x − b)(x − c).

Exercice 4. Pour tout α ∈ R , on consid` ere la matrice

A

_α

=





1 −1 0

−2 α + 4 1 1 3α + 5 5



 .

Calculer le d´ eterminant de A

_α

. En d´ eduire les valeurs de α pour lesquelles cette matrice est inversible.

1

(2)

Exercice 5. Inverser, en utilisant les d´ eterminants, les matrices suivantes :

B

1

=





3 2 −3

5 −1 −2

1 1 −1



 , B

2

=





3 5 1

2 −1 1

−3 −2 −1



 .

Exercice 6. R´ esoudre avec les formules de Cramer les syst` emes suivants :

S

₁







2x + y + 2z = 1 x − y + 2z = 2

−3x − z = −1

S

₂







3x + 2y + z = 1 x + 2z = 2 y + 3z = 1

Exercice 7.

a) Soit

A =





2 2 0 1 2 1 0 2 2



 .

D´ eterminer les λ ∈ R tels qu’il existe ~ u ∈ R

³

− {(0, 0, 0)} tel que A~ u = λ~ u (c’est-` a-dire les valeurs propres de A). Pour chaque tel λ d´ eterminer

E

_λ

=

~

u ∈ R

³

| A~ u = λ~ u ,

(c’est-` a-dire l’espace propre correspondant).

b) Mˆ eme question pour

B =





2 2 0 1 2 1 0 2 2



 , C =





1 m 1



 .

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