A2931 - Les fractionnaires sont de la partie

Par convention la partie fractionnaire d’un nombre réel x, notée {x}, est la différence entre ce nombre et sa partie entière par défaut. C’est un réel positif ou nul strictement inférieur à 1.

Problème n°1

x est un nombre réel positif tel que {x²} = {1/x} et 5793 < x²⁵ < 920482.

Déterminer la valeur de Problème n°2

Q₁ Existe-t-il deux nombres x et y qui ne sont pas entiers tels que {x*y} = {x + y}?

Q₂ Existe-t-il deux nombres x et y qui ne sont pas entiers tels que {x}*{y} = {x + y}?

Problème n°1 :

En évaluant 5793^1/20 et 920582, nous voyons que √2<x<√3.

Donc x²=2+{x²} soit {x²}=x²-2 et puisque 1/x<1, {1/x}=1/x. Donc x(x²-2)=1, qui a pour solution x=φ (nombre d’or), puisque φ(φ²-2)=φ(φ-1)=1.

φ²=φ+1, φ³=2φ+1, φ⁴=3φ+2, ..., φ^k=ℱk-1 φ+ℱk-2, où ℱk est le k^ième nombre de la suite de Fibonacci avec ℱ0=1, ℱ1=1, ..., ℱ18=4181, ℱ19=6765, ℱ20=10946, ...

Donc φ²⁰-6765/φ=6765φ+4181-6765(φ-1)=10946.

Problème n°2 :

Q1 : oui, par exemple si x=y=1+√2, x*y=3+2√2, x+y=2+2√2,

Q2 : non ; en effet ou bien {x+y}={x}+{y}<{x}*{y}, ou bien {x+y}={x}+{y}-1, et {x}+{y}-1<{x}*{y} puisque ({x}-1)(1-{y})<0

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