x est un nombre réel positif tel que {x²} = {1/x} et 5793 < x

A2831 – Les fractionnaires sont de la partie [** à la main]

Par convention la partie fractionnaire d’un nombre réel x,notée {x}, est la différence entre ce nombre et sa partie entière par défaut. C’est un réel positif ou nul strictement inférieur à 1.

Problème n°1

x est un nombre réel positif tel que {x²} = {1/x} et 5793 < x

²⁵

< 920482.

Déterminer la valeur de

x x

²⁰

 6765 Problème n°2

Q₁ Existe-t-il deux nombres x et y qui ne sont pas entiers tels que {x.y] = {x + y} ? Q₂ Existe-t-il deux nombres x et y qui ne sont pas entiers tels que {x}.{y] = {x + y} ?

Solution proposée par Jean Nicot

P1-

Elevant à la puissance 0,08 les termes de l’inéquation bornant x donne 2,000010 <x²<3,0000024 d’où

{

x²

} =

x²-2 et

{

1/x

} =

1/x

La relation

{

x²

} = {

1/x

}

devient x³-2x-1=0 qui possède une racine comprise entre 1 et 2

qui est égale au nombre d’or 1,6180339887 et x²⁰ -6765/x = 10946 qui est le 21^ième terme de la suite de Fibonacci

P2- Q1

Il existe beaucoup de couples vérifiant la relation {x*y} = {x + y}

Par exemple, en prenant y=x et x > pour avoir

{x²}=

x²- 10 et

{2x}=

2x- 6 d’où x²-2x-4=0 donc x=1+ =3,236068

ou bien en prenant y=2x et x > pour avoir {xy}= 2x²- 20 et {x+y}=3x-9 d’où 2x²-3x-11=0 donc x= (3+ )/4=3,21221445 et y=6,4244289

Q2

Pour la relation {x }*{ y} = {x + y} les parties entières de x et y n’importent pas et on peut considérer qu’elles sont nulles . Alors {x }=x {y }=y et {x + y}= x+y ou x+y-1 avec 0<x<1 et 0<y<1

Les relations xy= x+y ou xy=x+y-1 n’ont pas de solution avec les contraintes sur x et y