A335 – Les nombres chanceux [**** à la main]
Problème proposé par Michel Lafond
Soit un réel strictement positif x de partie entière e et d’écriture dans le système décimal : x = e , c1 c2 c3 c4 - - -
Cette écriture est unique, si selon l’usage, on interdit de n’avoir que des 9 à partir d’un certain rang.
On complète l’écriture des nombres décimaux par des 0 de manière à avoir systématiquement une infinité de décimales.
Si 1 p n sont deux entiers, on note xp, n le bloc constitué des p décimales consécutives de x, de la (n – p +1)ième jusqu’à la nième. A condition d’admettre un ou plusieurs zéros en début d’écriture, on peut considérer xp, n comme l’écriture décimale d’un entier à p chiffres.
Ainsi, x1, n est la nème décimale de x.
Exemple : si x = = 3,14159 26535 89793 23846 --- alors 2, 5 = 59 1, 11 = 8 4, 4 = 1415 etc.
On dit que l’entier positif n est un coïncident de x si xp, n = n ; p étant le nombre de chiffres de n.
Exemples :
y = 1 / 7 = 0,142857142857142857142857142857 --- admet les coïncidents :
1 [x1, 1 = n] 5 [x1, 5 = 5] 14 [x2, 14 = 14] 28 [x2, 28 = 28] 571 [x3, 571 = 571] etc.
z = 1 / 4 = 0,25000000--- n’a pas de coïncident.
Enfin, on dit que x est chanceux s’il a au moins un coïncident.
Questions :
1) Parmi les rationnels p / q avec 1 p < q 13 p, q premiers entre eux, quels sont les chanceux ?
2) Quel est le statut de 5 / 17 ? Quel est le statut de 11 / 19 ?
3) Parmi nos constantes favorites : , e, 2 , 3, 5 quelles sont les chanceuses ?
4) Si l’on tire au hasard avec équiprobabilité les décimales c1 c2 c3 c4 - - - de x = 0, c1 c2 c3
c4 - - -
Quelle est la probabilité p que x soit chanceux ?
p a le sens suivant : Si pn est la probabilité que xn = 0, c1 c2 c3 c4 --- cn ait un coïncident inférieur ou égal à n, pn est une suite croissante, majorée par 1, donc a une limite prise comme définition de p.
Solution proposée par Paul Voyer Q1
Le tableau suivant montre les couples p, q tels que p/q soit chanceux en jaune, non-chanceux en rouge, et, sauf lorsque c'est évident, un coïncident, ou la raison pour laquelle p/q n'est pas chanceux.
q-> 2 3 4 5 6 7 8
p
1 0.5000 0.3333 0.2500 0.20 0.1666 0.142857 142857 1 0.1250
2 0.6666 0.40 0.285714 285714 8
0.7500 0.60 0.428571 428571 2 0.3750
4 0.80 0.571428 571429 4
5 0.8333 0.714285 714286 7 0.6250
6 0.857142 857143 42
7 0.8750
q-> 9 10 11 12 13
p
1 0.1111 0.10 0.0909 0.0833 3 0.076923 076923 pair/impair
2 0.2222 0.1818 0.153846 153846 3
3 0.3333 0.30 0.2727 0.230769 230769 pair/impair
4 0.4444 0.3636 0.307692 307692 76
5 0.5555 0.4545 0.4166 6 0.384615 384615 8
6 0.6666 0.5454 0.461538 461538 53
7 0.7777 0.70 0.6363 0.5833 3 0.538461 538461 4
8 0.8888 0.7272 0.615384 615384 15
9 0.90 0.8181 0.692307 692307 pair/impair
10 0.9090 0.769230 769230 7
11 0.9166 6 0.846153 846153 5
12 0.923076 923076 2
pair/impair veut dire que les décimales de rang pair sont impaires et réciproquement, ce qui exclut la possibilité de coïncidence.
Q2
5/17=0.2941176470588235 2941176470588235 … période 16 car 17 divise 1016-1
29411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352941176470 58823529411764705882352941
17647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882 35294117647058823529411764
70588235294117647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529 41176470588235294117647058
Sur les 16 chiffres,
1) le 2 est représenté aux offsets 16n+1, il ne sera jamais le dernier chiffre d'un coïncident.
2) le 9 est représenté aux offsets 16n+2, il ne sera jamais le dernier chiffre d'un coïncident
3) le 4 est représenté aux offsets 16n+3, il ne sera jamais le dernier chiffre d'un coïncident
4) le 1 est représenté aux offsets 16n+4, il ne sera jamais le dernier chiffre d'un coïncident
5) le 1 est représenté aux offsets 16n+5, n=1 ne convient pas 11 ne convient pas car 6 n'est pas divisible par 16.
411 ne convient pas car 406 n'est pas multiple de 16 9411 ne convient pas car 9406 n'est pas multiple de 16 Il est inutile d'aller plus loin, 10000 étant divisible par 16.
6) le 7 est représenté aux offsets 16n+6, il ne sera jamais le dernier chiffre d'un coïncident
7) le 6 est représenté aux offsets 16n+7, il ne sera jamais le dernier chiffre d'un coïncident
8) le 4 est représenté aux offsets 16n+8, n=1 ne convient pas 64 ne convient pas car 56 n'est pas multiple de 16
764 ne convient pas car 756 n'est pas multiple de 16 1764 ne convient pas car 1756 n'est pas multiple de 16 9) le 7 est représenté aux offsets 16n+9, n=1 ne convient pas
47 ne convient pas car 38 n'est pas multiple de 16 647 ne convient pas car 638 n'est pas multiple de 16 7647 ne convient pas car 1638 n'est pas multiple de 16 10) le 0 est représenté aux offsets 16n+10, n=1 ne convient pas
70 ne convient pas car 60 n'est pas multiple de 16 470 ne convient pas car 460 n'est pas multiple de 16 6470 ne convient pas car 6460 n'est pas multiple de 16 11) le 5 est représenté aux offsets 16n+11, n=1 ne convient pas
05 ne convient pas car -6 n'est pas multiple de 16 705 ne convient pas car 694 n'est pas multiple de 16 4705 ne convient pas car 1694 n'est pas multiple de 16
12) le 8 est représenté aux offsets 16n+12, il ne sera jamais le dernier chiffre d'un coïncident
13) le 8 est représenté aux offsets 16n+13, il ne sera jamais le dernier chiffre d'un coïncident
14) le 2 est représenté aux offsets 16n+14, n=1 ne convient pas 82 ne convient pas car 68 n'est pas multiple de 16
882 ne convient pas car 868 n'est pas multiple de 16 5882 ne convient pas car 1868 n'est pas multiple de 16
15) le 3 est représenté aux offsets 16n+15, il ne sera jamais le dernier chiffre d'un coïncident
16) le 5 est représenté aux offsets 16n, il ne sera jamais le dernier chiffre d'un coïncident.
5/17 n'a pas de coïncident
11/19=0.578947368421052631 578947368421052631 … période 18 car 19 divise 1018-1
57894736842105263157894736842105263157894736842105263157894736842105263157 89473684210526315789473684
21052631578947368421052631578947368421052631578947368421052631578947368421 05263157894736842105263157
Avec la même méthode que précédemment, on trouve que 73684 est coïncident de 11/19 vérifié WolframAlpha
http://www.wolframalpha.com/input/?i=mod%2811%2F19%2910%5E73684%2C100000
Q3
Les premières décimales de sont :
14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628 62089986280348253421170679
82148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521 10555964462294895493038196
44288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543 26648213393607260249141273
72458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882
33057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885 75272489122793818301194912
98336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931 76752384674818467669405132
00056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654 95853710507922796892589235
vérifié WolframAlpha 360 est coïncident de
Les premières décimales de e sont :
718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724 vérifié WolframAlpha
62 est coïncident de e
Les premières décimales de 2 sont :
41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846 21070388503875343276415727
35013846230912297024924836055850737212644121497099935831413222665927505592 75579995050115278206057147
01095599716059702745345968620147285174186408891986095523292304843087143214 50839762603627995251407989
68725339654633180882964062061525835239505474575028775996172983557522033753 18570113543746034084988471
60386899970699004815030544027790316454247823068492936918621580578463111596 66871301301561856898723723
52885092648612494977154218334204285686060146824720771435854874155657069677 65372022648544701585880162
07584749226572260020855844665214583988939443709265918003113882464681570826 30100594858704003186480342
19489727829064104507263688131373985525611732204024509122770022694112757362 72804957381089675040183698
68368450725799364729060762996941380475654823728997180326802474420629269124 85905218100445984215059112
02494413417285314781058036033710773091828693147101711116839165817268894197 58716582152128229518488472
vérifié WolframAlpha 975 est coïncident de 2
3=1.7320508076 a pour coïncident 5
Les premières décimales de 5 sont :
23606797749978969640917366873127623544061835961152572427089724541052092563 78048994144144083787822749
69508176150773783504253267724447073863586360121533452708866778173191879165 81127664532263985658053576
13504175337850034233924140644420864325390972525926272288762995174024406816 11775908909498492371390729
72889848208864154268989409913169357701974867888442508975413295618317692149 99774248015304341150359576
68332512498815178139408000562420855243542235556106306342820234093331982933 95974635227120134174961420
26359047378855043896870611356600457571399565955669569175645782219525000605 39231234005009286764875529
72205676625366607448585350526233067849463342224231763727702663240768010444 33158257335058930981362263
43198686471946989970180818952426445962034522141192232912598196325811104170 49580704812040345599494350
vérifié WolframAlpha 496 est coïncident de 5
Q4
(1-P1) est la probabilité pour qu'aucune des 9 premières décimales ne correspondent à son rang, soit (9/10)9 = 0.387...
(1-P2) est la probabilité pour qu'aucun des 100 nombres représentés par les décimales 9-10 à 98-99 ne correspondent à son rang, soit (99/100)99=0.3697…
…
(1-Pn) = (999..9/1000..0)9999..9=.3679…
La probabilité de ne rien trouver avec au plus n décimales : (1- pn) =
ni1
1Pi
tend vers 0 lorsque n tend vers ∞.La limite p de pn vaut1.
