A335 – Les nombres chanceux [**** à la main]
Problème proposé par Michel Lafond
Soit un réel strictement positif x de partie entière e et d’écriture dans le système décimal : x = e , c1 c2 c3 c4 - - - Cette écriture est unique, si selon l’usage, on interdit de n’avoir que des 9 à partir d’un certain rang. On complète l’écriture des nombres décimaux par des 0 de manière à avoir systématiquement une infinité de décimales.
Si 1 p n sont deux entiers, on note xp, n le bloc constitué des p décimales consécutives de x, de la (n – p +1)ième jusqu’à la nième. A condition d’admettre un ou plusieurs zéros en début d’écriture, on peut considérer xp, n comme l’écriture décimale d’un entier à p chiffres.
Ainsi, x1, n est la nème décimale de x.
Exemple : si x = = 3,14159 26535 89793 23846 --- alors 2, 5 = 59 1, 11 = 8 4, 4 = 1415 etc.
On dit que l’entier positif n est un coïncident de x si xp, n = n ; p étant le nombre de chiffres de n.
Exemples :
y = 1 / 7 = 0,142857142857142857142857142857 --- admet les coïncidents :
1 [x1, 1 = n] 5 [x1, 5 = 5] 14 [x2, 14 = 14] 28 [x2, 28 = 28] 571 [x3, 571 = 571] etc.
z = 1 / 4 = 0,25000000--- n’a pas de coïncident.
Enfin, on dit que x est chanceux s’il a au moins un coïncident.
Questions :
1) Parmi les rationnels p / q avec 1 p < q 13 p, q premiers entre eux, quels sont les chanceux ?
2) Quel est le statut de 5 / 17 ? Quel est le statut de 11 / 19 ?
3) Parmi nos constantes favorites : , e, 2 , 3, 5 quelles sont les chanceuses ? 4) Si l’on tire au hasard avec équiprobabilité les décimales c1 c2 c3 c4 - - - de x = 0, c1 c2 c3 c4 - - -q uelle est la probabilité p que x soit chanceux ? p ayant le sens suivant : si pn est la probabilité que xn = 0, c1 c2 c3 c4 --- cn ait un coïncident inférieur ou égal à n, pn est une suite croissante, majorée par 1, donc tend vers une limite prise comme définition de p.
