A375 − Les produits miroirs.
Problème proposé par Michel Lafond
Les nombres qui interviennent dans cet exercice sont les nombres décimaux X d’écritures X = cmcm-1cm-2 ....c2c1c0,d1d2d3 ....dn-1dn m ≥ 0 et n ≥ 1
L’entier d’écriture N = cmcm-1cm-2 ....c2c1c0 est écrit N = cmcm-1cm-2 ....c2c1c0,0 tandis que 0 est écrit 0,0.
On appelle miroir du décimal X = cmcm-1cm-2 ....c2c1c0,d1d2d3 ....dn-1dn le décimal dndn-1...d2d1,c0c1c2...cm- 1cm obtenu en écrivant les chiffres de X de droite à gauche et en préservant la virgule.
Enfin, un décimal est dit produit miroir s’il est le produit de deux décimaux miroirs.
Exemples :
129,682 = 3,14 x 41,3 , 5,092 = 6,70 x 0,76 et 2018,25981 = 152,31 x 13,251 sont des produits miroirs.
Q1 Trouver un produit miroir de partie entière 2019.
Q2 Approcher au mieux 2019 par un produit miroir.
Q3 Trouver au moins 3 produits miroirs entiers.
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Si l'emplacement de la virgule doit être préservé le nombre entier 2019 , tout comme les entiers de la forme 9n + 2 , 9n + 3 , 9n + 5 , 9n + 6 & 9n + 8 ne peuvent pas être un produit miroir .
Pour preuve : deux décimaux miroirs ont même somme de leurs chiffres par définition .
Si on s'en tient par exemple aux carrés de tous les entiers : 1 , 2 , 3 , ... , n .. les congruences de tous leurs carrés suivent le même cycle :
1² congru à 1 (mod 9) , 2² congru à 4 (mod 9) , 3² = 0 , 4² = 7 , 5² = 7 , 6² = 0 , 7² = 4 , 8² = 1 , 9² = 0 , 10² = 1 , 11² = 4 ....(congruence modulo 9)
On constate ce cycle des congruences (mod 9) : ( 1 , 4 , 0 , 7 , 7 , 0 , 4 , 1 , 0) , 1 , 4 , 0 , 7 , 7 , 0 , 4 , 1 , 0 ....
les premiers entiers à exclure sont : 2 , 3 , 5 , 6 , 8 , 11 , 12 , 14 , 15 , 17 , 20 , 21 .... 2016 , 2018 , 2019 , 2021 , 2022 , 2024 ..
Cela ne veux pas dire que c'est toujours possible avec tous les autres . C'est juste une condition nécessaire que la somme des chiffres du résultat doit être congrue à 0 , 1 , 4 ou 7 (mod 9) . les 3 exemples donnés répondent bien à la condition : 1 , 7 & 0 mod 9) pris dans cet ordre .
Les premiers produits miroirs entiers restant à exploiter sont donc : 1 , 4 , 7 , 9 , 10 , 13 , 16 , 18 , 19 ...
2017 , 2020 , 2023 ....
Q1 : Si 2019 est la partie entière d'un produit miroir , on peut faire cette approche en maximisant le produit de 2 facteurs entiers pour commencer :
21 x 98 = 2058 ; 21 x 97 = 2037 ; 30 x 68 = 2040 ; 45² = 2025 . 46 x 44 = 2024 ; 47 x 43 = 2021 ; 48 x 42 = 2016 ....
Le produit suivant convient : 47.24 x 42.74 = 2019.0376
Q2: 88.22 x 22.88 = 882.2 x 2.288 = 2018.4736 . est une bonne approche par valeur inférieure . Mais 47.24 x 42.74 est plus proche . (moins de 4/100)
Q3 :
1) les nombres miroirs possèdent 2 chiffres a & b et les chiffres extrêmes ne peuvent être que l'un de ces 3 couples : (2,5) , (4,5) ou (8,5) .
Soit a,b x b,a le produit miroir ; peu importe l'emplacement de la virgule au départ ; ab,0 x 0,ba donne le même résultat .
Si P est l'entier recherché , alors a,b x b,a = a x b x (1 + 10-2) + (a² + b²) x 10-1
Ce qui donne a x b + (a²+b²).10-1 + a x b x 10-2 . Les retenues sont prises en compte et pour 4,5 x 5,4 cela donne :
4 x 5 + , (4² + 5²).10-1 + 4 x 5 x 10-2 = 20 + 4,1 0,20 = 24 , 30 .
autre exemple : 8,5 x 5,8 = 40 , 6,4 + 2,5 + 0,40 = 40 + 8,9 + 0.40 = 49,3
13 est un entier possible . Il répond déjà à la première condition : 13 = 4 (mod 9) 2,5 x 5,2 = 10 + (2²+5² + 1).10-1 = 10 + 2,9 + 0,1 = 13
0 = 0,0 x 0,0
13 = 2.5 x 5.2 = 25.0 x 0.52 = 0.25 x 52.0
