A375. Les produits miroirs
Problème proposé par Michel Lafond
Les nombres qui interviennent dans cet exercice sont les nombres décimaux X d’écritures X = cmcm-1cm-2 ....c2c1c0,d1d2d3 ....dn-1dn m ≥ 0 et n ≥ 1
L’entier d’écriture N = cmcm-1cm-2 ....c2c1c0 est écrit N = cmcm-1cm-2 ....c2c1c0,0 tandis que 0 est écrit 0,0.
On appelle miroir du décimal X = cmcm-1cm-2 ....c2c1c0,d1d2d3 ....dn-1dn le décimal dndn-
1...d2d1,c0c1c2...cm-1cm obtenu en écrivant les chiffres de X de droite à gauche et en préservant la virgule.
Enfin, un décimal est dit produit miroir s’il est le produit de deux décimaux miroirs.
Exemples :
129,682 = 3,14 x 41,3 , 5,092 = 6,70 x 0,76 et 2018,25981 = 152,31 x 13,251 sont des produits miroirs.
Q1 Trouver un produit miroir de partie entière 2019.
Q2 Approcher au mieux 2019 par un produit miroir.
Q3 Trouver au moins 3 produits miroirs entiers.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
Q1 : .
Q2 : D’après une recherche exhaustive à l’ordinateur, la solution donnée pour Q1 résout aussi Q2. Q3 : Pour tout entier les facteurs et sont miroirs ; et leur produit vaut 1.
Trois exemples sont 13 = 2,5*5,2; 388462 = 578176,0*0,671875 et 0 = 0,0*0,0.
On va commencer par Q3. Le cas trivial 0 = 0,0*0,0 mis à part, il est naturel de retenir 2 et 5 comme chiffres extrêmes des facteurs-miroirs; en essayant avec 2,5 on obtient une première solution, car le produit miroir vaut 13. D’autres solutions s’obtiennent par la remarque 1 suivante ; remarque qu’on va utiliser aussi à propos de Q2 :
Remarque 1 Tout produit-miroir reste un produit miroir si l’on multiplie par 10 un facteur et on divise par 10 l’autre.
Naturellement on peut itérer, donc multiplier et diviser par une même puissance de 10 ; en particulier on a
Pour ce qui concerne Q1 le produit satisfait ; mais une meilleure approximation est suggérée par la relation ; donc il vaut bien rechercher parmi les produits du type pour chiffres convenables ; et en fait le choix mène à , ce qui, comme on va montrer, est aussi la solution de Q2. On termine en signalant que, grâce à la remarque 1, tout produit-miroir peut se représenter sous la forme où est un entier non multiple de 10 et est l’entier obtenu en renversant
l’ordre des chiffres de ; donc, dans la famille des entiers à 6 chiffres dont la dernière n’est pas nulle, le minimum des produits-miroirs est
En particulier, pour ce qui concerne Q2, on peut se borner aux produits de facteurs-miroirs ayant au plus 5 chiffres ; et une recherche numérique dans ce range n’a pas donné de meilleures
approximations.
Remarque 2 L’algorithme pour une recherche numérique peut sembler compliqué, mais il est énormément simplifié par la remarque : on se bornera à chercher un facteur de type entier, soit ; l’autre sera du type avec miroir de . Bien entendu on économisera du temps si, au lieu de construire d’abord pour ensuite obtenir renversant les chiffres de , on construit en même temps les chiffres de et de .
Il s’agit d’un procédé clairement récursif : à partir d’un couple de facteurs miroirs déjà construit (par exemple : pour un chiffre choisi entre 0 et 9) on fera :
contrôler si le produit est une bonne approximation ; pour tout chiffre :
remplacer par et par
contrôler si le produit est une bonne approximation ; pour tout chiffre :
remplacer par et par (* et ainsi de suite *)
On voit bien que partant de on passe à , d’ici on passe à et ainsi de suite.
