D280 - Les polygones diophantiens
Problème proposé par Michel Lafond
On dit que P est un polygone diophantien de diamètre D s’il est convexe, si tous ses côtés sont mesurés par des entiers positifs, et s’il est inscrit dans un cercle de diamètre D entier.
P est dit centré si le centre O du cercle est intérieur à P ;
P est dit diamétral si O est sur la frontière de D (autrement dit l’un des côtés est égal à D) ; P est dit excentré si le centre O du cercle est extérieur à P.
Voici un beau spécimen de polygone diophantien centré de diamètre 9 :
Questions :
1. Recenser tous les polygones diophantiens de diamètres inférieurs ou égaux à 10.
2. Trouver un polygone diophantien excentré.
Ébauche de solution par Patrick Gordon
Question 1
On peut déjà rechercher des polygones diophantiens parmi les polygones réguliers convexes : on ne trouve que l'hexagone.
Parmi les polygones diamétraux, on trouve évidemment les triangles pythagoriciens 3, 4, 5 et 6, 8, 10, ainsi que, parmi les polygones centrés, les quadrilatères formés à partir d'eux par dédoublement.
On peut aussi rechercher des polygones diamétraux de type A, A, B, comme chacune des moitiés de l'exemple de l'énoncé.
Soit a le demi-angle au centre qui correspond à un côté de longueur A et b mutatis mutandis.
Il faut que 2a + b = π/2.
3
3
7
6 6 1
Diamètre 9
Il faut donc que cos 2a = sin b, c’est-à-dire encore : 2 sin²a + sinb = 1
Mais sin a = A/D et sin b = B/D.
Il faut donc que :
2 A² + D B = D².
C'est là une équation diophantienne à résoudre en A et B (entiers positifs), en considérant D (le diamètre) comme un paramètre que l'on fera varier de 1 à 10.
Pour D pair, on ne trouve que les demi-hexagones A = A = B = D/2
Pour D = 9, on retrouve les deux solutions de l'énoncé : A = 3, B = 7 et A = 6, B = 1.
On ne trouve aucune autre solution de type A, A, B pour aucune valeur de D ≤ 10. inachevé…
Question 2
Le plus simple est de rechercher un triangle obtusangle. Comme rien n'interdit qu'il soit isocèle, simplifions encore et prenons a = b. Il faut, pour que le triangle soit obtusangle que a√2 < c < 2a.
La formule donnant R à partir des côtés se simplifie alors en : R = a² / √(4a² – c²)
Un tâtonnement donne rapidement les deux solutions suivantes :
D = 25 a = b = 15 c = 24 et :
R = 25 a = b = 40 c = 48
Seul le premier triangle est obtusangle, donc excentré.
Le quadrilatère formé en accolant les deux, réduit dans une homothétie de 1/5 ou 1/10, peut aller rejoindre la liste de la question 1 comme polygone centré. Il est en effet formé de deux triangles pythagoriciens diamétraux.
