J150. Par ici la sortie
Problème proposé par Michel Lafond
Zig est au centre d’un labyrinthe carré de n x n cases [n entier impair ≥3] dans lequel chaque case contient une flèche indiquant la direction à prendre. À chaque étape, Zig se déplace d’une case dans la direction indiquée par la flèche de la case où il se trouve, sauf s’il se trouve face à un mur auquel cas il reste sur sa case. Il n’y a pas de mur en haut de la case de sortie. A la fin de chaque étape, que Zig ait bougé ou non, la flèche de la case où il se trouvait au début de l’étape tourne de 90° dans le sens horaire*.
Le parcours s’arrête quand Zig sort en haut.
Q1 Au bout de combien d’étapes Zig sortira-t-il du labyrinthe ci-après ?
Q2 Démontrer que quelle que soit la taille du labyrinthe, la case de départ, la case de sortie et les directions initiales des flèches, Zig sortira au bout d’un nombre fini d’étapes.
Q3 Pour n égal à 3, 5, 7, 9 et 11, déterminer une direction initiale des flèches rendant maximal le nombre d’étapes nécessaires pour atteindre la sortie [La case départ est au centre, et la sortie en haut au milieu].
Solution proposée par Claudio Baiocchi
La réponse à Q1 est 44. Pour ce qui concerne Q2, supposons fixées la dimension du damier et la case de sortie. Il existe alors « configurations » : on a possibles position de Zig, et 4 choix pour chacune des flèches. En particulier dans toute « histoire » longue plus que étapes on doit trouver une configuration qui se répète (et, à partir de là, l’histoire entre dans un cycle devenant périodique). On remarquera que, pour toute case visitée dans le cycle, la flèche (qui change d’état à toute visite) pour revenir à la position qu’elle avait au début du cycle doit prendre chacune des possibles positions. Cette remarque a deux conséquences :
D’un côté, toute case du damier sera visitée pendant le cycle. Sinon il existerait un couple de cases, avec visitée et non visitée, qui ont un côté en commun ; mais ça n’est pas possible car Zig, pour une position convenable de la flèche de , partant de passe à .
D’autre côté, quand Zig passe par la case d’arrivée (on sait désormais qu’elle fait partie du parcours) il y passera parfois avec la flèche « bien orientée », donc Zig sortira.
On a donc montré que, en tout cas, le parcours se termine au plus après étapes.
Pour ce qui concerne Q3, on remarque que lorsque Zig passe par une case de la colonne centrale il est bon de retarder autant que possible le mouvement vers le haut ; ce qui suggère d’y placer au départ une flèche vers la droite. Même type de flèche semble optimal lorsque la case appartient à une colonne à la droite de la centrale, car à partir de là les bonnes directions pour la sortie sont vers le haut et vers la droite. Au contraire, lorsque Zig se trouve sur une colonne à la gauche de la centrale il faut retarder les mouvements vers la droite et vers le haut ; ce qui se réalise par une flèche vers le bas. Avec ce type de configuration, pour , le nombre d’étapes demandé pour la sortie vaut respectivement 59, 238, 613, 1256 et 2239.
