B 134. Les roues magiques. ****
Problème proposé par Michel Lafond
Je définis une roue magique d’ordre comme un ensemble de 2n points, composé des n sommets et des n milieux des côtés d’un polygone régulier convexe à n sommets.
À chaque point de cet ensemble est associé un entier compris entre 1 et 2n (appelé sa marque) de telle sorte que chaque marque ne soit utilisée qu’une fois, et que la somme des trois marques situées sur un même côté soit constante.
Exemples :
Démontrer qu’il existe des roues magiques de tout ordre
Solution proposée par l'auteur
On trouve sur Internet de nombreux sites donnant des « Polygones magiques », mais je n’en ai trouvé aucun donnant un algorithme permettant de construire une roue magique d’ordre arbitrairement grand.
Commençons pas le cas simple où n est impair.
Soit
Ci-dessous on voit une solution pour les deux premiers cas : 1
3 2 5
6 4
Constante 10
1 5 6
4
7 2 3
8
Constante 12
1 20
15 3
18
16
19 13 8
17 14
10
2
7 4
9 11
5
12
6
n = 10 Constante 36
Dans le cas général [Figure ci-dessous où les sommets sont représentés par des disques gris et les milieux par des étoiles], on a une solution pour tout k en plaçant :
- les n nombres impairs [1, 3, 5, …, 4k + 1] sur les n sommets de deux en deux dans le sens direct.
- les n nombres pairs [2, 4, 6, …, 4k + 2] sur les milieux consécutifs, dans le sens rétrograde, en commençant par placer 2 juste après 4k + 1.
La constante C sur chaque segment vaut C = 6k + 4 = 3n + 1.
En effet en sommant les sommes partielles sur les n segment, on a
La vérification est immédiate puisqu’au départ pour les deux premiers segments (sens direct) on a : 1
3 5
2 4 6
k = 1 n = 3
Constante 10 k = 2 n = 5
Constante 16 1
3 7 5
9 2 4
6
8 10
1
3
5
7
2 k + 1
2 k – 1
2 k – 3 2 k + 3
2 k + 5
2 k + 7
4 k + 1
4 k – 1 2
4
6
8 4 k
4 k – 2
4 k – 4
4 k – 6
4 k – 8
4 k – 10
………
4 k + 2 = 2n
Cas n = 2 k + 1
1 + (4k) + (2k + 3) = 6 k + 4 et (2k + 3) + (4 k – 2) + 3 = 6 k + 4
Ensuite, cette somme est préservée, car quand on saute un segment, elle augmente de 2 x 2 = 4 du fait des valeurs impaires, et elle diminue de 4 du fait des valeurs paires.
À l’arrivée, on a bien aussi (2k + 1) + (4 k + 2) + 1 = 6 k + 4.
Terminons pas le cas difficile où n est pair.
Il faudra distinguer trois sous-cas : n = 6 k ; n = 6 k + 2 ; n = 6 k + 4.
Le cas n = 6 k.
Si k = 1, c’est-à-dire n = 6, on a par exemple la solution
Si on peut procéder ainsi :
Définissons pour le bloc numéro i : Bi comme l’arc de roue composé de 6 sommets consécutifs et des 6 milieux correspondants décrit ci-dessous avec les marques associées.
En posant C = 21 k + 1 on constate bien que pour les 5 côtés de ce bloc, la somme des 3 marques est C.
Définissons de même le demi-bloc par
1
5 11
8
4 10
3
12 2
6 9
n = 6 Constante 17
7
6i – 5 6i – 3
6i – 4 6i – 2
6i 6i – 1
12k – 3i + 2 9k – 3i + 2
9k – 3i 9k – 3i + 1
12k – 3i + 3 12k – 3i + 1
Le bloc Bi
6k – 5 6k – 3
6k – 4 9k + 2
6k + 2 9k + 3
Le bloc
Là encore, pour les 2 côtés de ce bloc, la somme des 3 marques est C = 21 k + 1.
Enfin, définissons le bloc "spécial" par
Là encore, pour les 2 côtés de ce bloc, la somme des 3 marques est C = 21 k + 1.
La solution du cas n = 6 k consiste à mettre bout à bout les blocs Ainsi, la marque à l’extrémité du bloc [On tourne toujours dans le sens rétrograde], à savoir 9k + 1, est suivie par la marque au début du bloc à savoir 1.
Il faut maintenant vérifier que tout cela marche.
D’abord, le bloc contient 6 sommets et 6 milieux pour i variant de 1 à k – 1 ;
et contiennent 3 sommets et 3 milieux.
Donc le nombre total de points est égal à comme prévu.
Ensuite, il faut vérifier que chaque marque de 1 à 2n est présente.
Les 6k marques intérieures à la roue [associées aux étoiles] sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6 [bloc 7, 8, 9, 10, 11, 12 [bloc …jusqu’à 6k – 11, 6k – 10, 6k – 9, 6k – 8, 6k – 7, 6k – 6 [bloc
6k – 5, 6k – 4, 6k – 3 [bloc et 6k – 2, 6k – 1, 9k [bloc Remarquer la présence de 9k Les 6k marques extérieures à la roue [associées aux disques gris] sont :
6k, 6k + 1 [bloc 6k + 2 [bloc
6k + 3, 6k + 4, 6k + 5 [bloc 6k + 6, 6k + 7, 6k + 8 [bloc 9k – 3, 9k – 2, 9k – 1[bloc
9k + 1 [bloc 9k + 2, 9k + 3 [bloc
9k + 4, 9k + 5, 9k + 6 [bloc 9k + 7, 9k + 8, 9k + 9 [bloc jusqu’à 12k – 2, 12k – 1, 12k [bloc
Remarquons que la marque 9k [bloc est intérieure.
Enfin il faut vérifier qu’aux jonctions entre les blocs, les sommes de 3 marques sont toutes égales à C.
À l’intérieur de chaque bloc, cela a déjà été effectué.
Il ne reste qu’à vérifier les sommes aux jonctions des blocs :
Pour la jonction on a 6k – 2
9k
6k – 1 6k
6k + 1 9k + 1
Le bloc
6i 6i – 1
6i + 1
12k – 3i + 1 9k – 3i + 1
12k – 3i – 1 Jonction
6i + 3 9k – 3i – 1
Pour la jonction on a
Pour la jonction on a
Enfin, pour la jonction on a
Exemple k = 2 ; n = 12 donne :
B1 en noir ; B1/2 en rouge ; BS en bleu.
6k – 6 6k – 7
6k – 5
9k + 4 6k + 4
9k + 2 Jonction
6k – 3 6k + 2
6k – 3 6k – 4
6k – 2
6k + 2 9k + 3
6k Jonction
9k 6k + 1
9k 6k – 1
1 6k + 1
9k + 1 12k – 1
Jonction
3 9k – 1
1
8
9
16
23 17
15 18
21
20
24 3
2
4 6 13
12 10
14
7 5 Cas n = 12 constante 43
22 11
19
Le cas n = 6 k + 2.
Il n’y a que quelques variantes par rapport au cas précédent. Aussi je ne détaille pas tout.
Définissons pour le bloc numéro i : Bi comme l’arc de roue composé de 6 sommets consécutifs et des 6 milieux correspondants décrit ci-dessous avec les marques associées.
[Pour k = 1 il n’y a pas de bloc B1 correspondant]
En posant C = 21 k + 8 on constate bien que pour les 5 côtés de ce bloc, la somme des 3 marques est C.
Définissons de même le demi-bloc par
Là encore, pour les 2 côtés de ce bloc, la somme des 3 marques est C = 21 k + 8.
Enfin, définissons le bloc "spécial" par
Là encore, pour les 4 côtés de ce bloc, la somme des 3 marques est C = 21 k + 8
La solution du cas n = 6 k + 2 consiste à mettre bout à bout les blocs La seule exception est que pour k = 1 (n = 8) il n’y a que Voir l’exemple ci-dessous.
Les vérifications se font exactement comme dans le cas précédent.
Voici deux exemples : n = 8 et n = 14.
6k – 5 6k – 3
6k – 4 9k + 6
6k + 5 9k + 7
Le bloc
6k – 2 9k + 3
6k + 1 6k + 3
6k + 2 9k + 5
Le bloc
6k – 1 6k + 4 6k
9k + 4
6i – 5 6i – 3
6i – 4 6i – 2
6i 6i – 1
12k – 3i + 6 9k – 3i + 5
9k – 3i + 3 9k – 3i + 4
12k – 3i + 7 12k – 3i + 5
Le bloc Bi
Le cas n = 6 k + 4.
Il n’y a que quelques variantes par rapport au cas précédent.
Définissons pour le bloc numéro i : Bi comme l’arc de roue composé de 6 sommets consécutifs et des 6 milieux correspondants décrit ci-dessous avec les marques associées.
Cas n = 8 constante 29
1 15
3
11 2
16 4
9 12 8
7 14
5
10 6 13
1
27 3
2
4
6
5 19
26 18 28 20
9 7 8
24 17
25 10 21
13 11
12
15 14
23
16
22
Cas n = 14 constante 50 B1/2 en rouge BS en bleu
B1 en noir
B1/2 en rouge BS en bleu
6i – 5 6i – 3
6i – 4 6i – 2
6i 6i – 1
12k – 3i + 10 9k – 3i + 8
9k – 3i + 6 9k – 3i + 7
12k – 3i + 11 12k – 3i + 9
Le bloc Bi
En posant C = 21 k + 15 on constate bien que pour les 5 côtés de ce bloc, la somme des 3 marques est C.
Définissons de même le demi-bloc par
Là encore, pour les 2 côtés de ce bloc, la somme des 3 marques est C = 21 k + 15.
Enfin, définissons le bloc "spécial" par
Là encore, pour les 6 côtés de ce bloc, la somme des 3 marques est C = 21 k + 15.
La solution du cas n = 6 k + 4 consiste à mettre bout à bout les blocs Les vérifications se font exactement comme dans le cas précédent.
Le cas k = 1 ; n = 10 a été vu dans l’énoncé.
(Avec un algorithme différent)
Voici l’exemple k = 2 ; n = 16.
6k – 5 6k – 3
6k – 4 9k + 10
6k + 8 9k + 11
Le bloc
6k – 2 6k + 1
6k 6k + 6
9k + 8 6k + 7
Le bloc
6k – 1 9k + 9 6k + 2 6k + 4
9k + 6 6k + 5
6k + 3 9k + 7
Cas n = 16 constante 57
1
3 2
4
6
5 31
23
32
21
30
22 7
28 9
20 8 29 10 13
12 11
14
24
15
18 26
19 27
16
17 25
B1 en noir
B1/2 en rouge BS en bleu
