E338. Les âges magiques. ***
Problème proposé par Raymond Bloch
Je suis accompagné de six amis. Leurs âges et le mien exprimés en années sont des entiers distincts compris entre 15 et 99. Les six produits des six âges par le mien sont les six permutations d'un nombre entier de trois chiffres distincts et différents de 0. Quels sont nos sept âges ?
Solution proposée par Michel Lafond Les sept âges sont 18, 26, 27, 36, 38, 47, 48.
Il faut trouver un âge a (entre 15 et 99) qui possède 6 multiples composés des 3 mêmes chiffres distincts et non nuls
15 . 15 = 225 et 15 . 66 = 990
Donc les 6 multiples sont compris entre 231 et 987.
On s’oriente naturellement vers les âges a multiples de 3 (car si un entier est multiple de 3, il le reste après permutation de ses chiffres)
On essaye 15, mais parmi ses multiples convenables : 285, 315, 345, 375, 435, 435, 465, 495, 615, 645, 675, 735, 765, 795, 825, 915, 945, 935 on est loin d’en trouver 6 qui répondent à la question.
Avec a = 18 cela va mieux car
Un balayage informatique (ci-dessous avec MAPLE) montre qu’il n’y a pas d’autre solution.
