A477. Deux indices pour six couleurs
A partir de quatre chiffres distincts choisis parmi l’ensemble des chiffres de 1 à 9, on écrit six entiers de la forme . Leur somme est égale à l’entier et le produit de deux d’entre eux est égal à l’entier . Déterminer ces six entiers.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
Dans la suite, on se borne à juxtaposer les lettres, évitant d’utiliser les caractères gras, et de mettre une ligne au-dessus de la concaténation. Le nombre de choix pour les chiffres est 3024; on va montrer "à la main" une des possibilités pour réduire drastiquement ce nombre.
Remarque Dans un quelconque langage de programmation on n'aurait pas de difficultés à écrire un programme qui résout le problème; et pas la peine de perdre du temps à optimiser le programme, vue que l’exécution ne demande que quelques secondes…
On commence à remarquer que la relation:
peut aussi s’écrire ; groupant quelques termes de façon à obtenir un facteur 10, on parvient à:
En particulier le terme doit être multiple de 10; mieux, d’après les restrictions qu’on a, il doit prendre une des valeur 10, 20 ou 30. On a donc, avec x qui peut être 1, 2 ou 3::
et, résolvant par rapport au couple , on trouve:
ou
ou encore
Dans le premier cas, peut prendre uniquement les valeurs 3 ou 4.
o si on avait on aurait et, dans l’équation qui donne , la valeur du terme peut être (et donc ) mais la valeur est impossible car alors ; il ne reste que .
Toutefois la valeur correspondante pour se factorise en 2*13=59 et on ne peut donc pas satisfaire la dernière condition du problème.
o Si on avait on aurait et, dans l’équation qui donne , la valeur du terme ne peut être , car alors , ni , car alors . Pas de solutions.
Dans le deuxième cas, l’équation qui donne force le terme à prendre une des valeurs 21, 22 et 23 (qui correspondent à ).
o Pour avoir le couple devrait être (8,1) ou (3,3); mais dans les deux cas on a des chiffres répétés ( ou ).
o Pour avoir le couple devrait être (6,2) ou (1,4); mais le premier cas force et dans le deuxième on a .
o Pour avoir le couple ne peut pas être (9,1) (qui force ) et doit donc être (4,3), ce qui correspond à . Le nombre vaut donc 4736 qui se factorise en ; en termes des facteurs admis , on a la factorisation .
Dans le troisième cas, doit prendre une des valeurs 3, 6, 9, auxquelles correspondent les valeurs 32, 34, 35 pour le terme ; dans chaque cas on a deux possibilités pour le couple , à savoir [ ou (6,4)], [(4,5) ou (9,3)] et [(2,6) ou (7,4)] respectivement. En particulier, pour le triplet on a six possibilités:
o Si l'équation pour entrainerait . o Si l'équation pour entrainerait . o Si l'équation pour entrainerait . o Si l'équation pour entrainerait . o Si l'équation pour entrainerait .
o Si l'équation pour entraine . Toutefois le terme vaut et la factorisation requise est donc impossible.
Le résultat final est donc qu'il existe une unique solution, donnée par
