E338 ‒ Les âges magiques [*** à la main]
Problème proposé par Raymond Bloch
Je suis accompagné de six amis. Leurs âges et le mien exprimés en années sont des entiers distincts compris entre 15 et 99.
Les six produits des six âges par le mien sont les six permutations d'un nombre entier de trois chiffres distincts et différents de 0.
Quels sont nos sept(¹) âges?
(1) souvent considéré comme chiffre "magique"
Solution de Paul Voyer
Mon âge divise les six permutations (distinctes puisqu'il y en a 6) d'un même nombre entier.
Ce nombre a trois chiffres distincts, compris entre 123 et 987.
Mon âge en années, divisant les différences entre les permutations, doit donc être multiple de 9, et vaut au moins 18.
Il vaut au plus 63, sinon le nombre aurait 4 chiffres, 15*72=1080.
Le nombre, multiple de 9, a une somme de chiffres égale à 9 ou 18.
Le plus âgé de mes amis a au plus 987/18=54 ans.
En éliminant les impossibilités, on trouve la solution unique : J'ai 18 ans, mes amis ont 26, 27, 36, 38, 47, 48 ans.
Le nombre est 468/486/648/846/864.
