E338 ‒ Les âges magiques
Problème proposé par Raymond Bloch
Je suis accompagné de six amis. Leurs âges et le mien exprimés en années sont des entiers distincts compris entre 15 et 99. Les six produits des six âges par le mien sont les six
permutations d'un nombre entier de trois chiffres distincts et différents de 0. Quels sont nos sept âges?
Solution par Patrick Gordon
On dresse un tableau des produits pq de deux nombres p (en lignes) et q (en colonnes) tous deux compris entre 15 et 99 bornes incluses.
Comme on ne recherche que les produits ≤ 999, on limite le tableau à 15 ≤ p, q ≤ 66
Comme on ne recherche que les p,q tels que le produit pq puisse prendre au moins 6 valeurs (donc a minima p ou q = 15 à 20), on limite le tableau plus strictement encore à 15 ≤ p,q ≤ 49.
1. solution brutale
C'est dans ce tableau, symétrique en p,q, que l'on recherche si, dans une ligne ou une colonne (disons une ligne p, pour fixer les idées), qui représentera "mon" âge, on peut trouver les six permutations d'un nombre entier de trois chiffres distincts et différents de 0.
On se livre alors à un travail digne du crible d'Ératosthène.
On efface tout d'abord les lignes où p est multiple de 10. En effet, le produit pq se termine par 0, ce qui est exclu.
On efface ensuite les lignes où p est multiple de 5 mais non de 10. En effet, le produit pq se termine par 5 pour toute la ligne et on ne peut donc pas avoir de permutations.
On efface ensuite, case par case, toute la diagonale (l'âge d'un ami et "le mien" ne peuvent être égaux) et toutes les cases qui comportent des 0 ou des chiffres redoublés (voire triplés).
Sans aller plus loin, on trouve la réponse (extrait du tableau) :
26 27 36 38 47 48 18 468 486 648 684 846 864 qui se lit :
- J'ai 18 ans
- mes 6 amis ont 26, 27, 36, 38, 47 et 48 ans
- les produits des six âges par le mien sont les six permutations du nombre entier 468.
2. solution plus élégante
Soient a, b, c (avec a > b > c > 0) les chiffres des 6 produits pq.
Notons q1 q2 q3 q4 q5 q6 les âges cherchés, tels que :
p q1 = 100a + 10b + c p q2 = 100a + 10c + b p q3 = 100b + 10a+ c p q4 = 100b + 10c + a p q5 = 100c + 10a + b p q6 = 100c + 10b + a On a, par construction :
q1 > q2 > q3 > q4 > q5 > q6 Formons les différences suivantes :
p (q1 – q2)= 9 (b – c)
p (q2 – q3)= 90 a + 9 c – 99 b p (q3 – q4)= 9 (a – c)
p (q4 – q5)= 99 b – 90 c – 9 a p (q5 – q6)= 9 (a – b)
Les premiers membres sont donc tous multiples de 9.
Si p ne l'est pas, tous les écarts successifs (qk – qk+1)le sont et (q1 – q6) est donc ≥ 5 × 9 = 45, ce qui est impossible car on a vu que 15 ≤ p,q ≤ 49, soit une plage de 34 seulement disponible pour les qk.
Donc p ("mon" âge) est multiple de 9 et l'on peut donc limiter la recherche à p = 18, 27, 36, 45.
Mais la valeur 45 est exclue car le produit pq se termine par 0 (ce qui exclut les cases en
question) ou par 5 (ce qui exclut que l'on puisse avoir des permutations dans les cases restantes).
L'examen manuel se restreint donc aux 3 valeurs p = 18, 27, 36 et ne donne que la solution :
- J'ai 18 ans
- mes 6 amis ont 26, 27, 36, 38, 47 et 48 ans
- les produits des six âges par le mien sont les six permutations du nombre entier 468.
