n°34 p 97

n°34 p 97

On commence par calculer lim

x→–∞

x

²

+1 3 −x x

²

+ 1

3 − x =

x

²

( ^{1+ x 1}

²

)

x ( ^{3 x − 1} ) ⁼

x ( ^{1+ x 1}

²

)

3 x − 1

on a alors facilement

lim

x→−∞

x

²₊₁ 3−

x = +∞

Or lim

X→+∞√

X = +∞ donc par composition des limites, on obtient donc lim

x→–∞

h ( x ) = +∞

n°35 p97

D'après l'exercice précédent, on a lim

x→–∞

x

²

+1

3 −x =+∞ or lim

X→+∞

e

^X

=+∞ donc par composition des limites, on a lim

x→–∞

r (x )=+∞

n°39 p 97 1) lim

x→+∞

x

²

+ 1 = +∞ or lim

X→+∞√

X = +∞ donc par composition des limites, on a : lim

x→+∞

√ ^x

²

^{+1 = +∞}

et ainsi on a lim

x→+∞

f ( x ) = +∞

2) − 1

x − √ ^x

²

^{+1 =}

−1( x + √ ^x

²

⁺¹⁾

( x − √ ^x

²

^{+1)( x +} √ ^x

²

^{+1) =}

−( x + √ ^x

²

^{+ 1)}

x

²

−(x

²

+1) = −(x + √ ^x

²

⁺¹⁾

− 1 = x + √ ^x

²

^{+1 = f}

⁽

^x

⁾

3) lim

x→–∞

√ ^x

²

+1 = +∞ donc lim

x→–∞

x − √ ^x

²

^{+1 = – ∞} d'où par inverse on obtient lim

x→–∞

f ( x )=0

n°42 p97

v

_n=√2

n

₊3−√2

n

₋₁

= (

√

2 n+ 3 −

√

2 n− 1 )(

√

2 n+ 3 +

√

2 n− 1 )

√

2 n+ 3 +

√

2 n− 1 = 2 n+ 3 −( 2 n− 1 )

√

2 n+ 3 +

√

2 n− 1 =

4

√2

n

_+3+√2

n

₋₁

On cherche alors la limite en +∞ et on trouve facilement 0

n°47 p97

1) D'après les résultats sur les croissances comparées, on a : lim

x→+∞

e^x x = +∞

et on a : lim

x→–∞

e^x x = 0 2)

•

^{en +∞ , ex}−x est une FI on factorise alors par x : e^x−x=x

(

^exx−1

)

d'où à l'aide des croissances

comparées, on a : lim

x→+∞

e^x

x−1 = +∞ d'où comme lim

x→+∞x=+∞ et par produit lim

x→+∞

e^x−x = +∞

•

^lim

x→–∞e^x=0 d'où lim

x→–∞e^x−x=+∞

3) xe^−x=x e^x = 1

e^x x

d'après les croissances comparées, on a : lim

x→+∞

e^x

x = +∞ donc par inverse, lim

x→+∞xe^−x= 0 on a vu que lim

x→–∞

e^x

x=0^–. C'est un 0 négatif car e^x est positif et x est négatif, d'où par inverse lim

x→–∞

xe^−x=–∞

4) C'est le même principe que pour e^x−x , le 1000 ne change rien dans le résultat n°48 p97

1) en –∞ , la factorisation demandée est inutile car pas de FI . On a : lim

x→–∞e^x−4x=+∞ et lim

x→–∞e^x+7=7 donc par quotient, on obtient lim

x→–∞

e^x−4x e^x+7 = +∞

en +∞, on a une FI donc on factorise comme demandé par e^x : e^x−4x

e^x+7 =

e^x

(

^1−4xex

)

e^x

(

^1+e7x

)

⁼

1−4x e^x 1+7 e^x

. On a déjà vu que lim

x→+∞

x

e^x = 0 donc on conclut facilement que

lim

x→+∞

e^x−4x e^x+7 =1

2) On peut factoriser comme demandé mais on peut remarquer aussi que e^x−4x x =e^x

x −4x x =e^x

x−4 ce qui est plus simple car les deux limites demandés sont alors très simple à obtenir :

lim

x→+∞

e^x

x−4=+∞ et lim

x→–∞

e^x

x−4=−4 n°59 p98

1) Faux car on peut tracer une fonction qui a pour limite –2 en +∞

2) Vrai c'est une application des th de comparaisons

3) Faux car une fonction croissante peut avoir pour limite 3 en +∞ . On peut donc tracer une courbe qui admet une asymptote horizontale y = 3 en +∞

4) Même raisonnement qu'en 3) avec un asymptote horizontale en –∞

n° 60 p98

1) Faux car une limite ne renseigne pas sur les variations de la fonction donc on peut facilement tracer un contre exemple

2) VRAI c'est une application de la définition d'une limite de suite : Tout intervalle contenant 1 contient tous les f(x) pour x suffisamment grand par exemple , pour tout x > A, f(x) ∈ ]0,9;1,1[ d'où f(x) positif

3) VRAI Une application du th des gendarmes 4) FAUX la fonction sinx est un contre exemple