Problème proposé par Raymond Bloch
Je suis accompagné de six amis. Leurs âges et le mien exprimés en années sont des entiers distincts compris entre 15 et 99. Les six produits des six âges par le mien sont les six permutations d'un nombre entier de trois chiffres distincts et différents de 0. Quels sont nos sept âges?
Tous les produits sont supérieurs à 15*16=240, et ils sont tous distincts. Les âges sont tous inférieurs ou égaux à 66, puisque 15*66=990.
Les six produits étant des permutations d’un même nombre, leurs différences sont toutes divisibles par 9 ; deux cas peuvent se présenter :
- chaque différence d’âge entre amis est divisible par 9 : les seules suites d’âges respectant cette condition, et les encadrements sont (15, 24, 33, 42, 51, 60) et (16, 25, 34, 43, 52, 61) ; mais la première donnera un produit terminant par 0, et la seconde ne peut donner trois paires de produits finissant par le même chiffre.
- l’âge du narrateur est divisible par 9 : les possibilités pour les produits sont les permutations de (2, 7, 9 ), (3, 6, 9), (3, 7, 8), (4, 5, 9), (4, 6, 8) ou (5, 6, 7)
Seul le cas (4, 6, 8), où tous les chiffres sont pairs, donc où toutes les permutations sont divisibles par 18, conduit à une solution :
18*26=468, 18*27=486, 18*36=648, 18*38=684, 18*47=846, 18*48=864.
Les âges sont donc 18, 26, 27, 36, 38, 47 et 48 ans.
