E338. Les âges magiques
Problème proposé par Raymond Bloch
Je suis accompagné de six amis. Leurs âges et le mien exprimés en années sont des entiers distincts compris entre 15 et 99. Les six produits des six âges par le mien sont les six permutations d'un nombre entier de trois chiffres distincts et différents de 0. Quels sont nos sept âges?
Solution proposée par Jean Nicot
Notons A et a1 à a6 les âges.
Le produit A a1 = 100x+10y+z soit A * ∑ 𝑎𝑖 31 = 111 (x+y+z) A a2 = 100y+10z+x et de même
A a3 = 100z+10x+y A * ∑ 𝑎𝑖 64 = 111 (x+y+z)
Comme 111=3*37 et 6 ≤ x+y+z ≤ 9+8+7=24, le facteur 37 est dans A ou dans chacune des deux sommes de 3 âges
Première hypothèse : le facteur 37 se trouve dans A
Si A= 37 Comme A*ai < 1000 ai< 28 et dans la plage 15 à27, on ne trouve pas 6 candidats pour les ai
Si A=2*37=74, le produit 74*15 est trop grand. Il faut abandonner l’hypothèse
Le facteur 37 est donc dans ∑ 𝑎𝑖 31 et aussi ∑ 𝑎𝑖 64 . Comme ces sommes sont supérieures à 45, il leur faut un facteur k>1 pris dans 3(x+y+z)
Alors ∑ 𝑎𝑖 31 = 37k et A=3(x+y+z)/k
x+y+z peut prendre des valeurs de 6 à 24, donc A de 18/k à 72/k donc k<5 Si k= 2 A=3(x+y+z)/2 ∑ 𝑎𝑖 31 = 74
A peut alors prendre des valeurs de 3 en 3, de 18 à 36 et ai de 15 à 56
Pour x+y+z=18 soit A=27, on obtient un trio {18, 24, 32} pour{xyz}={486} mais pas un second.
Si k=3 soit A=x+y+z ∑ 𝑎𝑖 31 = ∑ 𝑎𝑖 64 =111
A peut alors prendre les valeurs de 16 à 24, ai moyen vaut 37, A*ai<1000 impose une valeur faible pour A
Pour A=x+y+z=18, on obtient une solution avec deux trios {27,36,48} et {26,38,47} pour {xyz}={486}
Si k=4, soit A=3(x+y+z)/4∑ 𝑎𝑖 31 = ∑ 𝑎𝑖 64 = 148
A peut alors prendre les valeurs de 16 à 18, ai moyen vaut 49, A*ai<1000 impose une valeur faible pour A
Pour A=18, x+y+z=24, soit {xyz}={789}, on n’obtient aucun trio. Il en est de même pour les autres valeurs de A.
On a une seule solution A=18 et {27, 36, 48, 26, 38, 47} pour {xyz}={486}
