A368. Une histoire de facteurs **
Problème proposé par Raymond Bloch
A tout entier n > 2, on associe la suite Sn strictement décroissante définie par u0 = n, u1 = f(u0), u2 = f(u1),....uk = f(uk-1) = 2 avec f(x) désignant le nombre de diviseurs de l'entier x, 1 et x compris.
Par exemple avec n = 9, on a k = 2 et la suite contient les trois termes : 9,3,2 tels que u0 = 9 = 32, u1 = f(32) = 3, u2
= f(3) = 2
Déterminer le plus petit entier n > 2 tel que la suite Sn contient 8 termes.
PROPOSITION
Le nombre de diviseurs d’un nombre s’écrivant ap bq cr …
est le produit des exposants augmentés chacun de 1 unité : (p+1)*(q+1)*(r+1)….
Ainsi pour obtenir une suite de 2 termes, le plus petit est 2 = 21= 1*2., Nous prendrons l’entier 3 car avec 2, la suite est constante.
Pour une suite de 3 termes, il nous faut un terme ayant 3 diviseurs, le plus petit est 22 = 4 1,2,4 Pour une suite de 4 termes, il nous faut un terme ayant 4 diviseurs, le plus petit est 22 *31 = 6 1,2,3,6.
Pour une suite de 5 termes, il nous faut un terme ayant 6 diviseurs, le plus petit est 22 * 31 = 12 Pour une suite de 6 termes, il nous faut un terme ayant 12 diviseurs, le plus petit est 22 * 31 * 51 = 60 Pour une suite de 7 termes, il nous faut un terme ayant 60diviseurs, le plus petit est 24 * 32 * 51 * 71 = 5040 Pour une suite de 8 termes, il nous faut un terme ayant 5040=16*9*7*5 diviseurs,.
On peut avoir : 215 * 38 * 56 * 74 = 8 065 516 032 000 000
MAIS
ce n’est pas le plus petit.En jouant sur les exposants pour obtenir un nombre plus petit nous pouvons choisir (plus grands facteurs premiers avec les plus petits exposants…) :
5040 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 7
5040 = (1+1) * (1+1) * (1+1) * (1+1) * (2+1) * (2+1) * (4+1) * (6+1)
5040 = (6+1) * (4 + 1) * ( 2 + 1 ) * ( 2 + 1 ) * (1 + 1 ) * (1 + 1) * (1 + 1 ) * ( 1 + 1) et prendre 26 * 34 * 52 * 72 * 11 * 13 * 17 * 19 =
