E341 La réunion de famille :
Problème proposé par Raymond Bloch
Monsieur X et son épouse sont d’heureux grands-parents qui organisent une grande réunion de famille.
Tous les participants ont des âges différents (exprimés en années entières).
Avec onze ans de plus que son épouse, Monsieur X est le plus âgé mais il est loin d’être centenaire.
A la petite table sont installés les six plus jeunes dont la somme des âges est un carré parfait.
A la grande table se trouvent les adultes et les adolescents dont les âges sont égaux à tous les produits des âges des plus jeunes pris deux à deux.
Déterminer les âges de tous les membres de cette famille et justifier l’unicité de la solution.
--- Solution proposée par Nicolas Petroff
Soit j1, j2, j3, j4, j5, j6 les âges classés par valeurs croissantes des jeunes à la petite table.
Soient les âges des grands à la grande table, ces âges sont les produits 2 à 2 des . Soient S1 = j1+j2+j6 , S2 = j3+j4+j5 et S = S1+S2 .
Le grand père est plus âgé de 11 ans que son épouse, ce qui veut dire que j6 = 11 ans quelques soient les différents de figures.
De plus > 1 sinon à la table des grands il y aurait des âges < 12 ans, .
(h1) si j1 = 2 et j2 = 3 ou 4 ou 5 à la table des grands il y aurait encore des gamins j2 , donc S1 = 19 , 24 43 : de carrés parfaits entre 43 et 46 h1 impossible.
(h2) si j1 = 2 et j2 = 7 , S1 = 20 , S2 = 27 , S = 47 : ce n’est pas un carré parfait h2 impossible.
(h3) si j1 = 3 et j2 = 5 , S1 = 19 , 21 , 40 : h3 impossible . Et ainsi de suite jusqu’à j1 = 4 et j2 = 6 .
Si j1 = 4 et j2 = 7 , alors S1 = 22 , S2 = 27 , donc S = 49 , mais alors le grand père est âgé de 110 ans !!!!! , ce qui n’est pas possible .
Donc il reste le cas unique j1 = 3 et j2 = 4 , S1 = 18 et la seule solution admissible est donc :
J1 = 3 , j2 = 4 , j3 = 5 , j4 = 6 , j5 = 7 , j6 = 11.
Comme il y a 6 jeunes , il y a donc 15 façons de faire des produits 2 à 2 et les âges des grands sont donc les suivants :
12 , 15 , 18 , 21 , 33 , 20 , 24 , 28 , 44 , 30 , 35 , 55 , 42 , 66 ,
77 , ce qui confirme la différence de 11 ans entre les grands parents .
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