Problème proposé par Raymond Bloch
Monsieur X et son épouse sont d’heureux grands-parents qui organisent une grande réunion de famille.
Tous les participants ont des âges différents (exprimés en années entières).
Avec onze ans de plus que son épouse, Monsieur X est le plus âgé mais il est loin d’être centenaire.
A la petite table sont installés les six plus jeunes dont la somme des âges est un carré parfait.
A la grande table se trouvent les adultes et les adolescents dont les âges sont égaux à tous les produits des âges des plus jeunes pris deux à deux.
Déterminer les âges de tous les membres de cette famille et justifier l’unicité de la solution.
Soient a<b<c<d<e<f les âges des plus jeunes.
Il y a donc 15 (=C62) convives à la grande table, dont les âges vont de ab à ef : donc ab>f et a≥2, donc b≥3, c≥4, d≥5, e≥6, f≥7 ; l’âge du mari est ef, et celui de son épouse est immédiatement inférieur, donc df, ce qui entraine f=11 et e-d=1.
En effet, si les âges des époux ont un diviseur commun, celui-ci est égal à 11, et comme ef<100, et e≥6, f=11 ; s’il étaient premiers entre eux, l’âge de l’épouse serait au plus cd ; or cd≤(e-2)(f-2)=ef-2(e+f)+4, ef-cd≥2(e+f)-4≥22, ce qui est impossible.
Le mari étant loin d’être centenaire, e≤8 donc d≤7,... donc s=a+b+c+d+e+f≤41 Comme b≤5, on ne peut avoir a=2 (sinon ab<d=11) donc a≥3, b≥4,... 36≤s≤41 : devant être un carré parfait, s ne peut être égal qu’à 36.
Donc a=3, b=4, c=5, d=6, e=7, f=11 ; ab=12, ac=15, ad=18, bc=20, ae=21, bd=24, be=28, cd=30, af=33, ce=35, de=42, bf=44, cf=55, df=66, ef=77.
On peut remarquer que la personne dont l’âge est cf=55 ne peut être l’enfant de la mère : ce sera donc, sans doute le conjoint d’un des enfants de 44 ou 42 ans par exemple...
