E341 – La réunion de famille [** à la main]
Monsieur X et son épouse sont d’heureux grands-parents qui organisent une belle et grande réunion de famille.
Tous les participants ont des âges différents (exprimés en années entières).
Avec onze ans de plus que son épouse, Monsieur X est le plus âgé mais il est loin d’être centenaire.
A la petite table sont installés les six plus jeunes dont la somme des âges est un carré parfait.
A la grande table se trouvent les adultes et les adolescents dont les âges sont égaux à tous les produits des âges des plus jeunes pris deux à deux.
Déterminer les âges de tous les membres de cette famille.
Solution proposée par Daniel Collignon
Il y a donc 6+C(2;6) = 21 membres dans cette famille.
Notons 1<a<b<c<d<e<f les âges des 6 plus jeunes et x celui de Monsieur X.
Remarque : 1<a car les âges sont tous distincts (sinon par exemple a*b=b serait répété) Alors x=e*f<100 et x-11=d*f, d'où f(e-d)=11 nécessitant f=11 et e=d+1.
X est loin d'être centenaire => x<99 => e=<8.
Ainsi s=a+b+c+d+e+f vérifie la double inégalité 31=2+3+4+5+6+11=<s=<4+5+6+7+8+11=41.
Comme s est un carré parfait, cela ne peut être que 36=6^2.
Par ailleurs nous devons avoir a*b>11 pour respecter les âges distincts.
Si a=2, alors cela nécessiterait e>d>c>b>=6, d'où e>=9 contredisant ce qui précède.
Ainsi a>=3 impliquant e>d>c>b>=4, d'où e>=7
Si e=8, alors d+e+f=11+8+7=26 et il faudrait que 3+4+5=<a+b+c=10 : contradiction.
Donc e=7.
Alors d+e+f=11+7+6=24 et il faut que 3+4+5=<a+b+c=12, et l'inégalité est une égalité.
La solution est unique avec les jeunes 3, 4, 5, 6, 7, 11, et les moins jeunes 12, 15, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 33, 35, 42, 44, 55, 66 et 77.
