E341 – La réunion de famille [** à la main]
Monsieur X et son épouse sont d’heureux grands-parents qui organisent une belle et grande réunion de famille.
Tous les participants ont des âges différents (exprimés en années entières).
Avec onze ans de plus que son épouse, Monsieur X est le plus âgé mais il est loin d’être centenaire.
A la petite table sont installés les six plus jeunes dont la somme des âges est un carré parfait.
A la grande table se trouvent les adultes et les adolescents dont les âges sont égaux à tous les produits des âges des plus jeunes pris deux à deux.
Déterminer les âges de tous les membres de cette famille.
Solution proposée par Raymond Bloch.
Appelons « petits » et « grands » respectivement ceux qui sont installés à la
petite et à la grande table, X et x les âges respectifs de M. X et Mme X, et (1) 2 ≤ a < b < c< d <e < f ≤ 13 les âges des six petits.
(2) X = ef < 95 (3) x = X – 11.
(4) ab ≥ f.
On a considéré que l’adolescence commençait au plus tard à 13 ans, et que
« loin de cent ans » voulait dire au plus égal à 95 ans.
Quelques constatations immédiates :
- Les âges des grands ne peuvent pas être des nombres premiers, et si ce sont des produits des deux nombres premiers, tous deux doivent être au plus égaux à 13.
- (5) a = 2 , et b≥6 , ou a = 3 et b≥4 en raison de (4). Si a≥4, ab≥4x5=20, contradiction car ce doit être un âge d’ado.
- Si S=a+b+c+d+e+f, S> 2+3+4+5+6+7=27, donc S>52.
- A cause de (2), si f=13, e≤7 ; si f=12, e≤7 ; si f=11, e≤8. Donc si f=13, S≤13+7+6+5+4+3=38. Si f=12, S≤12+8+7+6+5+4=42. Et si f=11,
S≤11+8+7+6+5+4=41. Dans tous les cas – et on a vérifié qu’il en est de même si f≤10 – S <72. Conclusion : S = 36.
Nous sommes prêts à tester la condition (3) :
- Si f=13 et e=7, X=91, et x=91-11=80, contradiction car nous aurions un petit âgé de 10 ans, et donc un grand âgé de 13x10=130 ans. Si f=13 et e=6, X=78, x=67, un nombre premier, contradiction.
- Si f=12 et e=7, X=84, x=73, un nombre premier. Si f=12 et e=6, X=72, x=61, un nombre premier.
- Si f=11 et e=8, X=88 et x=77=7x11 : ceci est un cas possible, conduisant à d=7, e=8 et f=11. Comme il a été démontré que S=36,
a+b+c=36-(7+8+11)= 10 , contradiction compte tenu de (5).
- Si f=11 et e≤6, S<36, contradiction.
- Si f=11 et e=7, X=77 et x=66=6x11, et a+b+c=36-(6+7+11)=12, d’où à cause de (5) la solution unique :
Les âges des petits sont 3,4,5,6,7 et 11 ans, et les âges des grands
sont 12, 15, 18, 20, 21 24, 28, 30, 33, 35, 42, 44, 55, 66 et 77 ans.