Il y a six positions possibles des trois abscisses a,b et qui sont équiprobables : u<v<w, u<w<v, v<u<w, v<w<u, w<u<v, w<v<u

G104 – Trois points au hasard dans un carré

Solution

Soit A, B et C de coordonnées respectives (u,x), (v,y) et (w,z) les trois points choisis au hasard et selon une loi de probabilités uniforme sur le carré. Comme les probabilités d’avoir 2 ou 3 points confondus est nulle, on considérera ci-après les inégalités strictes entre les

abscisses et le ordonnées des trois points.

Il y a six positions possibles des trois abscisses a,b et qui sont équiprobables : u<v<w, u<w<v, v<u<w, v<w<u, w<u<v, w<v<u. Pour chacune de ces six configurations, il y a aussi six positions possibles et équiprobables des ordonnées : x<y<z, x<z<y, y<x<z, y<z<x, z<x<y, z<y<x. Il y a donc au total 36 configurations possibles de probabilité égale à 1/36.

On peut partager ces 36 configurations en deux familles F₁et F₂ :

- F₁ : l’un des trois points (B par exemple) est à l’intérieur du carré dont l’une des

diagonales joint les deux autres points (A et C par exemple). En d’autres termes min(U,W) <

V< max(U,W) et min(X,Z) < Y <max(X,Z)

- F : les 24 autres configurations restantes. ₂

On admettra les résultats suivants (faciles à démontrer) :

1) si U,V et W d’une part et X,Y et Z d’autre part sont des variables aléatoires indépendantes les unes des autres définies sur (0,1) selon une loi de probabilités uniforme, alors E[min(U,V,W)]=E[min(X,Y,Z)]=1/4,

E[max(U,V,W)]=E[max(X,Y,Z]=3/4 et E(med(U,V,W)]=E[med(X,Y,Z)]=1/2, min, max et med désignant respectivement la plus petite valeur, la plus grande valeur et la valeur médiane de (U,V,W) et (X,Y,Z).

2) pour les configurations de la famille F caractérisées par min(U,W) < V <max(U,W) ₁ et min(X,Z)<Y<max(X,Z) alors l’espérance mathématique de l’aire du triangle ABC est égale à 1/24 comme on peut le démontrer à l’aide des figures ci-après:

Les triangles ABC colorés dont les coordonnées des sommets A,B et C sont

respectivement (E(U),E(X)) puis (E(V),E(Y)) et (E(W),E(Z)) ont tous la même aire qui est égale à AC x BH/2 = AC x AC/12 = 1/24

3) pour les configurations de la famille F , l’espérance mathématique de l’aire du ₂ triangle ABC est de 3/32 comme on peut le vérifier à l’aide de la figure ci-après :

Le triangle bleu ABC a bien une surface égale à (1/2)² - 1/2*(1/4)² -2*(1/2)*(1/4)*(1/2)

=1/4- 1/32 – 1/8 = 3/32

Dans ces conditions, l’espérance mathématique de l’aire du triangle ABC est égale à 12/36 * 1/24 + 24/36 * 3/32 = 11/144