A635 – Exercices à une main sur deux partitions [* et *** à la main ] Problème proposé par Raymond Bloch
E1 Zig demande à Puce de trouver toutes les suites de six entiers consécutifs > 0 tels que le produit de deux d’entre eux augmenté du produit de deux autres est égal au produit des deux restants. Aidez Puce à résoudre l’exercice.
E2 Zig soumet à Alice, Bernard, Caroline et Daniel une suite S de huit entiers consécutifs > 1 et demande à chacun d’eux de trouver une partition de S en deux suites S₁ et S₂ de quatre termes chacune de sorte qu’elles aient le même produit de deux de leurs termes augmenté du produit des deux termes restants. Soit si (i = 1,2,3,4) les sommes communes aux deux suites S₁ et S₂ obtenues par chacun des quatre amis.
Q1 Démontrez qu’au moins deux amis obtiennent la même somme.
Q2 Alice a une somme s1 inférieure à celle s2 de Bernard et celles-ci sont distinctes de la somme obtenue par Caroline et par Damien, s3 = s4 = 8124474. Déterminez le plus grand terme de S et les sommes s1 et s2.
Solution proposée par Raymond Bloch
E1 Deux des six nombres sont multiples de 3 : ils doivent être multipliés l’un par l’autre, sinon on aurait une addition dans laquelle deux termes seraient multiples de 3, et pas le troisième, une contradiction.
Soient n et (n+3) les deux multiples de 3. Parmi les quatre nombres restant, deux ont pour reste 1 (mod 3), et deux ont pour reste 2 (mod 3) : leurs produits 2 à 2 ont pour reste 1 (mod 3) ou 2 (mod 3), et quand on additionne les deux produits, leur somme est congrue à 2, ou à 1 (mod 3). La somme de ces produits ne peut donc pas être égale à n(n+3) : donc n(n+3) doit être additionné à un des produits, leur somme étant égale au produit des deux derniers nombres. Et comme l’un des termes n et (n+3) est pair, chacun des produits doit associer un nombre pair et un nombre impair.
Il reste à distinguer trois cas :
- Si n est le plus petit des six termes : n(n+3)+(n+1)(n+2)=(n+4)(n+5) donne n=6 et la solution 6x9 + 7x8 = 10x11. Les deux autres cas, où on ajoute à n(n+3) soit (n+2)(n+5), soit (n+1)(n+4), ne donnent pas de solution.
- Si n est le second des six nombres : n(n+3)+(n-1)(n+2)=(n+1)(n+4) donne n=3 et la solution 3x6 + 2x5 = 4x7. Les deux autres cas ne donnent pas de solution.
- Si n est le troisième des six nombres : la seule solution est donnée par n(n+3)+(n-1)(n-2)=(n+1)(n+2) est 1x2 + 3x6 = 4x5.
En résumé, trois séquences de six nombres consécutifs conviennent : 1 à 6, 2 à 7, et 6 à 11.
E2
Q1 Soient (n-3),(n-2),(n-1),n,(n+1),(n+2,(n+3),(n+4) les 8 nombres consécutifs. On constate qu’il n’existe que trois façons de les répartir en deux quators dont la somme des produits deux à deux sont égales :
- (n-3)(n+2)+n(n+3)=(n-2)(n+1)+(n-1)(n+4)=2n2+2n-6.
- (n-1)(n-2)+(n+1)(n+4)=n(n-3)+(n+2)(n+3)=2n2+2n+6.
- (n-2)(n+4)+(n-1)(n+1)=n(n+2)+(n-3)(n+3)=2n2+2n-9.
La découverte ce ces relations est guidée par l’examen modulo 3 et modulo 2 : ainsi, s’il y a trois multiples de 3 parmi les huit nombres, ils doivent être du même côté du signe égal.
Comme il y a trois répartitions possibles et quatre amis, deux amis au moins feront le même partage et obtiendront la même somme si.
Q2 Si s3 = s4 = 8124474, n est voisin de racine carrée de (8124474/2) , c’est-à-dire de 2015. Les huit nombres de S sont en effet 2012, 2013, …,2019, 2019 le plus grand d’entre eux. Les sommes obtenues sont :
- s3 = s4 = 2013x2016+2014x2019=2015x2018+2012x2017=8124474 pour Caroline et Damien.
- s2 = 2016x2019+2013x2014=2012x2015+2017x2018=8124486 pour Bernard.
- s1 = 2013x2019+2014x2016=2015x2017+2012x2018=8124471 pour Alice.
