A612 Interdit aux entiers consécutifs[*** à la main]
La démonstration se fait par récurrence.On désigne par f(n) le nombre de sous-ensembles de {1,2,3,…n} qui ne contiennent pas d’entiers consécutifs.
Considérons d’abord les ensembles {0}, {0,1},{0,1,2},{0,1,2,3} et {0,1,2,3,4,} pour essayer d’identifier la formule générale.
On a de façon évidente f(0 = 1 et f(1) = 2,
puis f(2) = 4 avec les sous-ensembles {0}, {1}, {2} et {0,2},
f(3) = 7 avec les sous-ensembles {0}, {1}, {2},{3}, {0,2},{0,3} et {1,3}, f(4) = 12 avec les sous-ensembles {0}, {1}, {2},{3},
{4},{0,2},{0,3},{0,4},{1,3},{1,4},{2,4} et {0,2,4}.
On observe que f(3) = f(2) + f(1) + 1 et f(4) = f(3) + f(2) + 1.
Il est donc naturel d’essayer la formule f(n) = f(n-1) + f(n-2) + 1 où f(n) est le terme général de la suite de Fibonacci décalé de trois rangs et diminué de 1, c’est à dire f(n) = F(n+3) – 1 et l’on retrouve bien F(n+3) = F(n+2) + F(n+1).
On suppose donc que la relation f(n) = f(n-1) + f(n-2) + 1 est vraie jusqu’au rang n.
Démontrons la pour le rang n+1.
Quand on ajoute le (n+1)ème entier, on constate que dans les f(n+1) sous-ensembles de {1,2,3,….,n,n+1}, il y a évidemment les f(n) sous-ensembles qui ne contiennent pas n+1. Par ailleurs l’entier n+1 peut s’ajouter à n’importe quel sous-ensemble défini à partir des entiers {1,2,3,….,n-1} car il n’y aura jamais deux entiers consécutifs avec les sous-ensembles réalisés sur {1,2,3,….,n-1}{n+1}. Ceci donne f(n-2) sous-ensembles supplémentaires.
Enfin, il ne faut pas oublier {n+1} lui-même.
Le décompte est bien exhaustif et au total on a bien f(n+1) = f(n) + f(n-2) + 1.
Application numérique :
Calcul de f(21). C’est tout simplement l’expression F(24) – 1,dans laquelle F(24) désigne le 24ème terme de la suite de Fibonacci :
D’où f(21) = 46367.
