A421-Le pluviomètre de Zig [*** à la main]
Problème proposé par Patrick Gordon
Zig dispose d'un pluviomètre en forme de tronc de pyramide droite dont les bases sont carrées et dont les treize dimensions (les 12 arêtes et la hauteur) sont des nombres entiers de
centimètres. L'ouverture (vers le haut) est du côté du grand carré. Les graduations du pluviomètre permettent de mesurer en nombre entier de millimètres la quantité de pluie qui est tombée sur une période donnée.
Lundi soir, Zig vide son pluviomètre. Mardi matin il constate que la hauteur d’eau contenue dans son instrument est sept fois la hauteur d’eau tombée pendant la nuit, chacune des deux hauteurs étant mesurée en nombre entier de millimètres, puis il mesure la quantité d’eau contenue dans le pluviomètre qui est égale exactement à 98 cm .
Zig demande à Puce de lui donner les treize dimensions du pluviomètre ainsi que la hauteur d’eau tombée pendant la nuit. Comment ce dernier parvient-il à mener à bien ses calculs ? Solution proposée par l’auteur
Notons :
A la grande arête,
a la petite arête,
h la hauteur du pluviomètre,
et
x la hauteur de l'eau dans le pluviomètre (mesurée verticalement en non lue sur les graduations),
y la hauteur d’eau tombée pendant la nuit (telle que donnée par les graduations), Le volume du pluviomètre est :
V = h (A² + Aa + a²) / 3
Quant au volume (que nous noterons v) de l'eau dans le pluviomètre, on ne peut pas
l'exprimer par une formule analogue car on ne connaît pas, à ce stade, les dimensions du carré de la surface de l'eau. On peut toutefois raisonner par homothétie sur les pyramides complètes puis par soustraction et l'on trouve :
v = [x3 (A-a)2+3x2 ah (A-a)+3x a2h2] / 3h2
C'est ce volume v qui, aux termes de l'énoncé, vaut 98 cm3.
Quant à y (hauteur d’eau tombée pendant la nuit), il se déduira de v par : y = v / A²
Récapitulons les données :
1. Les dimensions des 12 arêtes et de la hauteur sont des nombres entiers de centimètres.
Donc A, a et h sont des nombres entiers de centimètres. Mais les arêtes obliques (que nous noterons d) le sont aussi. Or :
d² = (A – a)² / 2 + h²
et (A – a)² / 2 + h² (où A, a et h sont exprimés en centimètres) doit donc être un carré.
2. Par ailleurs, nous savons que :
v = [x3 (A-a)2+3x2 ah (A-a)+3x a2h2] / 3h2 = 98 cm3. 3. Enfin, nous savons que :
x = 7y
Or y = v / A², donc x vaut (en exprimant tout en centimètres, en cm2 et cm3):
x = 7 v / A² = 7 × 980 / A² cm.
Donc :
2x A² = 7 × 98 × 2 = 1372 cm3 Or 1372 = 2² × 73.
A² (en cm²) doit donc être égal à 4, 49 ou 196 et A = 2, 7 ou 14 cm.
Les valeurs de 2x = 1372 / A² (tout en cm) en résultant sont respectivement : 343, 28, 7 cm.
Donc x = 171,5 14 et 3,5 cm (x est bien, dans chque cas, entier en mm).
On écartera la solution (A = 2 cm, x = 171,5 cm) comme dépourvue de sens pratique.
On laissera provisoirement de côté la solution (A = 7 cm, x = 14 cm) comme peu vraisemblable (le pluviomètre ne serait pas stable).
On examinera donc la solution (A = 14 cm, x = 3,5 cm).
Or A, a et h en cm doivent satisfaire : (A – a)² / 2 + h² = d².
Il faut donc trouver a (< 14) tel que :
d² – h² = (d + h) (d – h) = (A – a)² / 2
Les seules solutions qui respectent la condition que h soit supérieur à x, soit h ≥ 3,5 sont :
A a A-a (A-a)² / 2 d+h d-h d h
14 2 12 72 36 2 19 17
14 2 12 72 18 4 11 7
14 6 8 32 16 2 9 7
Reste à examiner lesquelles donnent bien v = 98 cm² pour x = 3,5.
Un calcul selon la formule :
v = [x3 (A-a)2+3x2 ah (A-a)+3x a2h2] / 3h2 montre que seule la seconde donne v = 98 cm3.
Ce que l'on peut trouver directement en remarquant que, dans cette solution, le niveau de l'eau dans le pluviomètre est à mi-hauteur de l'appareil. Le carré qui délimite la surface de l'eau dans l'appareil a donc pour côté la moyenne de A et a, soit (14+2)/2 = 8 cm. Le volume d'eau dans le pluviomètre est donc 3,5 × (8² + 8×2 + 2²)/3 = 98 cm3.
Par la même méthode, on peut s'assurer que l'option (A = 7 cm, x = 14 cm), outre qu'elle est peu vraisemblable (car le pluviomètre ne serait pas stable), ne donne pas de solution
conduisant à v = 98 cm3 pour x = 14 cm.
La solution trouvée est donc unique.
Récapitulation (tout en centimètres)
A (arêtes du haut) = 14
a (arêtes du bas) = 2
h (hauteur) = 7
d (arêtes obliques) = 11
x (hauteur d'eau dans le pluviomètre) = 7 y (hauteur d'eau tombée) = 0,5
