A428 - Les polars de Las Vegas
Problème proposé par Patrick Gordon
Quatre amis Alice, Bernard, Caroline et Daniel décident de se rendre au Caesars Palace de Las Vegas pour passer la soirée devant les bandits manchots de ce célèbre casino.
Q₁ Ils se rendent dans une première salle où n machines sont alignées à intervalles réguliers.
Ils décident que chacun ira s'installer devant un bandit manchot de sorte que leurs positions définies par quatre points sur une même droite soient en division harmonique. Comme ils sont polars, ils calculent que, compte tenu des permutations qu'ils peuvent effectuer entre eux devant quatre machines bien déterminées, le nombre total de configurations distinctes possibles est égal à 384. Calculer n.
Q2 Dans une deuxième salle, le nombre k de bandits manchots (toujours alignés à intervalles réguliers) est un carré parfait. Alice décide de s'installer devant la machine n°1 et Daniel devant la machine n°k. Démontrer que lorsque k est un carré parfait strictement supérieur à un carré parfait a02
que l’on déterminera, Bernard et Caroline peuvent se placer au moins de deux manières différentes, chacun devant une machine, de sorte que les quatre amis forment
toujours une division harmonique.
Application numérique: Bernard est devant la machine n°23. Déterminer k et le numéro de la machine devant laquelle s'installe Caroline.
Q1
Dans cette question, A n'est pas nécessairement en 1. Ainsi, la configuration (1,3,4,7), qui est bien une division harmonique puisque (3 – 1) / (3 – 4) = – (7 – 1) / (7 – 4), se retrouve en incrémentant d’une unité chacune des abscisses des quatre points (2,4,5,8) puis (3,5,6,9) etc...
Il faut trouver n tel qu'il y ait 384 / 4! = 16 divisions harmoniques possibles y compris celles qui se déduisent par décalage de celles qui commencent par 1.
Avec n = 13, on a (1,3,4,7) plus les 6 solutions tirées de (1,3,4,7) par décalages, soit 7 solutions, ainsi que (1,4,5,7) plus les 6 solutions tirées de (1,4,5,7) par décalages, soit 7 solutions etc, soit au total 16 solutions.
n = 13 A B C D solutions
1 3 4 7 7
1 4 5 7 7
1 5 7 13 1
1 7 9 13 1
Avec n = 12, on n'a que 12 solutions; avec n = 14, on en a 20.
Q2
Dans cette question, A est en 1.
Notons x et y les abscisses (positives entières, avec x < y) de B et C. Les nombres (1, x, y, k) doivent être en division harmonique, donc satisfaire la condition :
1) (x – 1) / (y – x) = (k – 1) / (k – y)
qui peut se réécrire de bien des façons, par exemple en isolant k : 2) k (2x – y – 1) + 2y – xy – x = 0.
Bien voir que la condition (1), donc la (2) qui en est une réécriture équivalente (avec les précautions d'usage de non-nullité des dénominateurs), est une condition nécessaire et suffisante pour que les 4 points d'abscisses (1, x, y, k) dans cet ordre strict soient en division harmonique.
Il s'agit de montrer que, pour tout k carré parfait strictement supérieur à un certain carré parfait a02
, l'équation (2) a au moins deux solutions entières en (x, y) avec x < y.
À noter que la propriété est vraie aussi pour certaines valeurs de k non carrés parfaits, ainsi que nous l'avons vu ci-dessus avec k = 7.
On vérifie aisément qu'elle n'est pas vraie pour k = 9 mais qu'elle l'est pour k = 16, 25, 36, 49, 64.
Pour étudier le cas général de k = a², une idée est de calculer x et y (entiers positifs avec x <
y) au moyen de l'équation (2) pour a = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 et de rechercher si une expression de ces valeurs en fonction de a se dessine.
Le calcul donne :
a k = a² x y
4 16 4 6
11 13
5 25 9 13
13 17
6 36 15 21
16 22
7 49 17 25
25 33
8 64 19 29
36 46
9 81 21 33
49 61
10 100 23 37
64 78
On trouve :
- deux solutions (au moins) pour chaque valeur de a,
- des valeurs de x en progression arithmétique de raison 2 (dans la plus petite solution pour a = 4 et 5, dans la plus grande au-delà),
- des valeurs de y en progression arithmétique de raison 4 (même remarque).
Un calcul simple suggère les expressions générales : x = 2a + 3
y = 4a – 3
En les reportant dans (2), ainsi que k = a², on constate qu'elles vérifient cette équation quel que soit a ≥ 4, donc k > 3² et a0 = 3.
Reste à montrer que, pour ces mêmes valeurs de a ≥ 4, il y a toujours une deuxième solution (au moins).
Pour cela, essayons de trouver une expression en a des valeurs x' et y' de la deuxième solution (rappel : la plus petite ou la plus grande) trouvée ci-dessus pour a = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
La valeur de x' saute aux yeux. En effet, x' =4, 9, 16… pour a = 4, 5, 6… d'où l'idée que x' pourrait être :
x' = (a – 2)²
Comme on remarque que l'écart (y' – x') est le même que (y – x) = 2(a – 3), on est amené à penser que y' pourrait être :
y' = a² – 2a – 2.
En reportant ces expressions, ainsi que k = a², dans (2), on constate qu'elles vérifient cette équation quel que soit la valeur de a.
Il est ainsi établi que, lorsque k est un carré parfait strictement supérieur à 3² = 9, Bernard et Caroline peuvent se placer au moins de deux manières différentes, chacun devant une machine, de sorte que les quatre amis forment toujours une division harmonique.
Application numérique
On donne x = 23, on cherche y et k.
Avec x = 23, la relation (2) s'écrit : 3) k (45 – y) = 21y + 23
C'est une équation diophantienne que l'on peut résoudre de bien des manières.
On trouve les solutions :
y k
1 1
23 23
34 67
37 100
41 221
43 463
44 947
Les deux premières n'ont aucun sens car il faut que y > x. Sur les 5 autres, seule la solution avec y = 37 donne un k carré parfait. Nous négligerons le fait qu'une séquence de 100 machines a peu de sens pratique et
nous retiendrons la solution x = 23, y = 37, k = 100.
Vérification
BA / BC = 22 / 14 = 11/7; DA / DC = 99 / 63 = 11/7.
Nota : l'équation (2) pour k = 100 a aussi la solution x = 64, y = 78.
