Enoncé E535 (Diophante) A saute-mouton
Sur un immense plateau percé de trous formant un quadrillage régulier, on place quatre fichets aux sommets d’un carré. Chaque fichet peut sauter par-dessus l’un quelconque des trois autres fi- chets et sa position d’arrivée est symétrique de sa position de dé- part par rapport au fichet qui a servi de mouton. Ce dernier reste en place. Après plusieurs mouvements, se peut-il que les quatre fichets forment un carré plus grand que le carré d’origine ? Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Supposons que ce résultat soit possible : partant d’un carré de côté d, on a obtenu un carré de côté md,m >1.
Dans chaque passage d’une position intermédiaire à la suivante, le mouvement inverse (retour à la position précédente) est un saut conforme à la règle. Ainsi, reprenant les mouvements en sens in- verse, on sait passer du carré de côtémd au carré de côtéd.
Cette séquence de sauts peut être appliquée à un carré de taille quelconque et d’orientation quelconque : par nature, les sauts mettent toujours les fichets dans les trous du quadrillage. Il suffit, à chaque stade de la séquence, que le fichet sautant et le fichet sauté soient homologues de ceux de la séquence à imiter.
On peut ainsi obtenir un carré de côté d/mk pour tout k entier.
Mais pourkassez grand, le côté d/mkserait plus petit que le plus petit intervalle entre trous du quadrillage, ce qui est absurde. Le résultat de l’énoncé est donc impossible.
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