G2966 – Une jolie maquette en bois de buis
Zig décide de construire la maquette d’une pyramide à base carrée dont les quatre faces triangulaires sont équilatérales avec une collection de boules en bois de buis, chacune de diamètre 30 mm et de poids 13 grammes.
Comme le montre l’image ci-contre, il les empile les unes sur les autres et afin d’obtenir une rigidité de son montage, il met un point de colle à chaque point de contact de deux boules. Au bout d’un très long et très méticuleux travail de collage, il dénombre exactement 30000 points de colle qui nécessitent 1,175 kg de colle.
Une fois que Zig a placé la dernière boule au sommet, déterminer la hauteur de la pyramide (arrondie au millimètre le plus poche) ainsi que son poids (arrondi au gramme le plus proche).
--- Le carré de base a pour côté n .
Une ligne est constituée de n boules (n-1) points de colle .
Le carré est constitué de n lignes n(n-1) points de colles auxquels il faut rajouter les points pour coller les lignes entre-elles , soit (n-1)n points de colles supplémentaires 2n(n-1) points de colles pour la couche de base.
Une couche (un carré) quelconque de côté p comprend donc 2p(p-1) points de colle.
Quand on colle une couche sur une autre, chaque boule de la couche supérieure est en contact avec 4 boules de la couche inférieure en collant la couche supérieure sur la couche inférieure , il faut prévoir points de colle supplémentaires .
Au total on obtient donc : équation du 3ième degré qui a pour racine n = 25 .
Le nombre total de boules est : N =
boules le poids P = 5525*13 + 1175 = 73000 gr .
Si l’on considère la hauteur h entre les plans contenant les centres des boules de deux couches voisines, et si on considère une boule du plan supérieur qui repose sur 4 boules du plan inférieur, le centre de la boule supérieure est sur une ligne verticale qui passe exactement au centre du carré délimité par les centres des 4 boules inférieures et le centre supérieur est à la distance de 2R (R = rayon d’une boule) de chaque centre inférieur et la ligne verticale est à la distance de , mais comme il y a au total (n-1) espaces entre chaque couche, à laquelle il faut rajouter 2R
= 539 mm .
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