A5913 – Toujours possible [*** à la main]
Démontrer qu’il est toujours possible de représenter :
Q₁ un entier positif de la forme 3k – 2 avec k entier ≥ 1 comme la somme d’un carré parfait et de deux cubes parfaits.
Q₂un entier positif quelconque comme la somme d’un carré parfait et de trois cubes parfaits.
Q₃ un entier quelconque comme la somme de cinq cubes parfaits pas nécessairement distincts.
Q₄ un entier positif ou nul sous la forme a² + b² – c² avec a,b,c entiers positifs distincts , 0 < a < b < c.
Q₅ un entier quelconque sous la forme 1² 2² …. n² avec un certain entier n et le choix convenable du signe « + » ou « – » précédant chacun des termes k² avec k = 1,2...,n
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Q1 On a l’identité suivante : a*3 – (a + 3)*3 + (3.a +5)²= 3.a – 2.
Donc les nombres de la forme 3k-2 s’écrivent sous la forme de la somme de 2 cubes et d’un carré parfait.
Q2 Pour un nombre de la forme n=3.k -1, on a donc n=k*3 –(k+3)*3 +1 + (3.k+ 5)².
Pour un nombre de la forme n=3.k ou encore 3.(k+1) – 2 -1 , on obtient donc (k+1)*3 – (k+4)*3 -1 + (3.k + 8)².
Donc tout nombre peut s’écrire comme la somme de 3 cubes parfaits et d’un carré parfait.
Q3 on a (a+1)*3 -a*3 + (a-1)*3 -a*3=6a Donc on a les nombres de forme
6.k =(k+1)*3 -k*3 + (k-1)*3 -k*3 +0 6.k +1 =(k+1)*3 -k*3 + (k-1)*3 -k*3 +1 6.k +5 = (k+2)*3 – (k+1)*3 +k*3 –(k+1)*3 -1 6.k+2= k*3 – (k-1)*3 + (k-3)*3 – (k-1)*3 + 2*3 6.k+4= (k+3)*3 – (k+2)*3 + (k+1)*3 – (k+2)*3 - 2*3 6k+3 = (k-3)*3 – (k-4)*3 + (k-5)*3 – (k-4)*3 + 3*3
6k= (k-35)*3 – (k-36)*3 + (k-37)*3 –(k-36)*3 + 6*3 (si on n’accepte pas le zéro).
Q4 Puisque a<b<c, prenons c=b+1 , nous devons alors avoir a² +b² -(b+1)² soit a² -2.b -1 =n
En prenant un a pair pour n impair et a impair pour n pair, si on choisit b= (a² -1- n)/2 on a un triplet tel que a² +b² -c² =n. De plus si on choisit un a suffisamment grand (>2√n par exemple) on aura bien le respect de la condition a<b<c.
Q5. On peut constater k² -(k+1)² - (k+2)² + (k+3)² vaut toujours 4 quel que soit k.
Soit un nombre n = 4.p + m avec m= n modulo 4.
On a 0 =1 -2² -3² +4² -5² +6² +7² -8² ; 1=1 +2² -3² +4² +5² -6² ; 2=1 -2² +3² -4² +5² +6² -7² ; et 3=1 -2² -3² -4²+5².
Pour un nombre n quelconque il faut donc rajouter p séquences de la forme k² -(k+1)² - (k+2)² + (k+3)² pour obtenir le nombre n.
Pour m=0 , on a donc n =1 -2² -3² +4² -5² +6² +7² -8² +∑ i=0 à p-1 ((9+4.i)² -(10 +4.i)² -(11+4i)² +(12 +4i)²) pour m=1 n =1 +2² -3² +4² +5² -6² +∑ i=0 à p-1 ((7+4.i)² -(8 +4.i)² -(9+4i)² +(10 +4i)²)
pour m=2, n =1 -2² +3² -4² +5² +6² -7² +∑ i=0 à p-1 ((8+4.i)² -(9 +4.i)² -(10+4i)² +(11 +4i)²) et pour m=3 n =1 -2² -3² -4² +5² +∑ i=0 à p-1 ((6+4.i)² -(7 +4.i)² -(8+4i)² +(9 +4i)²).
