N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
G ARCET
Théorème sur le binôme de Newton pour l’exposant entier et positif
Nouvelles annales de mathématiques 1
resérie, tome 19 (1860), p. 32-33
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THÉORÈME SUR LE BINOME DE NEWTON POUR L'EXPOSANT ENTIER ET POSITIF ( * ) ;
PAR M. GARCET, Capitaine du génie.
Si Ton décompose la série des coefficients du binôme de Newton en trois parties, en prenant les termes de trois en trois, deux de ces sommes sont égales et la troisième surpasse les deux autres ou en est surpassée d'une unité.
Ainsi appelons 5t , $2, sz ces trois sommes
m.m — i . m — 2 m .m — 1 . . . m — 5 I 2 . 3 1 . 2 . . . 6 m. m — 1 m — 2 . m — 3
= m H
1 . 2 . 3 . 4
! — 1 . . . m — 6 i . a . . . 7
m,m—1 m.m—i./w — 2 . m — 3 . / w — 4 1 2 i 2 3 4 5
1.2 i . 2 .
m.m — 1. . . m —
" 1.2...8
on a égalité à l'unité près entre ces trois sommes.
(*) A démontrer.
Comme on sait ensuite
Sr +
on peut spécifier quelles la nature de l'exposant /
Si
m m m m m m on a respectivement
5*2 ^ 3
st = s2 =
c —— c. ——
( 3 3 )
Î que s, + s3 =
> sont les
?i, ainsi
= 6/2,
= 6/2-f-
= 6/2 +
= 6/2 +
= 6/2 -+-
= 6/2 +
^3 "+ I a"»,
sommes égales suivant qu
i ,
3 ,
4,
5,
2™
2"1
a"-
il suit :
— i
3 '
+ i 3 ~ ~ ~ '
— i
3 *
2m+ I Ç2 = ^3 = St + I = ,
2m I , , - . , , - , , - I _ _ — >
1m + I
