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1.4 BINÔME DE NEWTON ET TRIANGLE DE PASCAL

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

cours 4

1.4 BINÔME DE NEWTON

ET TRIANGLE DE PASCAL

(2)

Au dernier cours, nous avons vu

(3)

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Permutations

(4)

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Permutations

✓ Arrangements

(5)

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Permutations

✓ Arrangements

✓ Combinaisons

(6)

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Permutations

✓ Arrangements

✓ Combinaisons

✓ Combinaisons avec répétitions

(7)

Aujourd’hui, nous allons voir

(8)

Aujourd’hui, nous allons voir

✓ Binôme de Newton

(9)

Aujourd’hui, nous allons voir

✓ Binôme de Newton

✓ Triangle de Pascal

(10)

Binôme

(11)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(12)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(13)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(14)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(15)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(16)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(17)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(18)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(19)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(20)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(21)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(22)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(23)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(24)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(25)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(26)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(27)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(28)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(29)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(30)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(31)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(32)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(33)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(34)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(35)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(36)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(37)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(38)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(39)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(40)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(41)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(42)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(43)

Binôme

Regardons les différentes puissances d’un binôme.

(44)
(45)

Triangle de Pascal

Blaise Pascale (1623-1662)

(46)

Triangle de Pascal

Blaise Pascale (1623-1662)

(47)

Triangle de Pascal

Blaise Pascale (1623-1662)

(48)

Triangle de Pascal

Blaise Pascale (1623-1662)

(49)

Triangle de Pascal

Blaise Pascale (1623-1662)

(50)

Triangle de Pascal

Blaise Pascale (1623-1662)

(51)

Triangle de Pascal

Blaise Pascale (1623-1662)

(52)

Triangle de Pascal

Blaise Pascale (1623-1662)

(53)

Triangle de Pascal

Blaise Pascale (1623-1662)

(54)

Triangle de Pascal

Blaise Pascale (1623-1662)

(55)

Triangle de Pascal

Blaise Pascale (1623-1662)

(56)

Triangle de Pascal

Blaise Pascale (1623-1662)

(57)

Triangle de Pascal

Blaise Pascale (1623-1662)

(58)

Triangle de Pascal

Blaise Pascale (1623-1662)

(59)

Triangle de Pascal

Blaise Pascale (1623-1662)

(60)

Triangle de Pascal

Blaise Pascale (1623-1662)

(61)

Triangle de Pascal

Blaise Pascale (1623-1662)

(62)

Triangle de Pascal

Blaise Pascale (1623-1662)

Yang Hui (1238-1298)

(63)
(64)
(65)
(66)
(67)
(68)
(69)
(70)

Théorème ✓ n

k

◆

+

✓ n k 1

◆

=

✓ n + 1

k

(Règle de Pascal) ◆

(71)

Théorème Preuve:

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

=

✓ n + 1

k

(Règle de Pascal) ◆

(72)

Théorème Preuve:

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

=

✓ n + 1 k

◆

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

(Règle de Pascal)

(73)

Théorème Preuve:

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

=

✓ n + 1 k

◆

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆ = n!

k !(n k)! + n!

(k 1)!(n (k 1))!

(Règle de Pascal)

(74)

Théorème Preuve:

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

=

✓ n + 1 k

◆

= n!

k !(n k )! + n!

(k 1)!(n k + 1)!

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆ = n!

k !(n k)! + n!

(k 1)!(n (k 1))!

(Règle de Pascal)

(75)

Théorème Preuve:

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

=

✓ n + 1 k

◆

= n!

k !(n k )! + n!

(k 1)!(n k + 1)!

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆ = n!

k !(n k)! + n!

(k 1)!(n (k 1))!

(Règle de Pascal)

(76)

Théorème Preuve:

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

=

✓ n + 1 k

◆

= n!

k !(n k )! + n!

(k 1)!(n k + 1)!

= n!

k !(n k )! + n!k

k(k 1)!(n k + 1)!

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆ = n!

k !(n k)! + n!

(k 1)!(n (k 1))!

(Règle de Pascal)

(77)

Théorème Preuve:

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

=

✓ n + 1 k

◆

= n!

k !(n k )! + n!

(k 1)!(n k + 1)!

= n!

k !(n k )! + n!k

k(k 1)!(n k + 1)!

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆ = n!

k !(n k)! + n!

(k 1)!(n (k 1))!

(Règle de Pascal)

(78)

Théorème Preuve:

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

=

✓ n + 1 k

◆

= n!

k !(n k )! + n!

(k 1)!(n k + 1)!

= n!

k !(n k )! + n!k

k(k 1)!(n k + 1)!

= n!

k !(n k )! + n!k

k !(n k + 1)!

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆ = n!

k !(n k)! + n!

(k 1)!(n (k 1))!

(Règle de Pascal)

(79)

Théorème Preuve:

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

=

✓ n + 1 k

◆

= n!

k !(n k )! + n!

(k 1)!(n k + 1)!

= n!

k !(n k )! + n!k

k(k 1)!(n k + 1)!

= n!

k !(n k )! + n!k

k !(n k + 1)!

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆ = n!

k !(n k)! + n!

(k 1)!(n (k 1))!

(Règle de Pascal)

(80)

Théorème Preuve:

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

=

✓ n + 1 k

◆

= n!

k !(n k )! + n!

(k 1)!(n k + 1)!

= n!

k !(n k )! + n!k

k(k 1)!(n k + 1)!

= n!

k !(n k )! + n!k

k !(n k + 1)!

= n!(n k + 1)

k !(n k + 1)! + n!k

k!(n k + 1)!

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆ = n!

k !(n k)! + n!

(k 1)!(n (k 1))!

(Règle de Pascal)

(81)

Théorème Preuve:

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

=

✓ n + 1 k

◆

= n!

k !(n k )! + n!

(k 1)!(n k + 1)!

= n!

k !(n k )! + n!k

k(k 1)!(n k + 1)!

= n!

k !(n k )! + n!k

k !(n k + 1)!

= n!(n k + 1)

k !(n k + 1)! + n!k

k!(n k + 1)!

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆ = n!

k !(n k)! + n!

(k 1)!(n (k 1))!

(Règle de Pascal)

(82)

Théorème Preuve:

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

=

✓ n + 1 k

◆

= n!(n k + 1)

k!(n k + 1)! + n!k

k !(n k + 1)!

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

(83)

Théorème Preuve:

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

=

✓ n + 1 k

◆

= n!(n k + 1)

k!(n k + 1)! + n!k

k !(n k + 1)!

= n!(n k + 1) + n!k k !(n k + 1)!

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

(84)

Théorème Preuve:

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

=

✓ n + 1 k

◆

= n!(n k + 1)

k!(n k + 1)! + n!k

k !(n k + 1)!

= n!(n k + 1) + n!k k !(n k + 1)!

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

(85)

Théorème Preuve:

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

=

✓ n + 1 k

◆

= n!(n k + 1)

k!(n k + 1)! + n!k

k !(n k + 1)!

= n!(n k + 1) + n!k k !(n k + 1)!

= n!(n k + 1 + k) k !(n k + 1)!

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

(86)

Théorème Preuve:

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

=

✓ n + 1 k

◆

= n!(n k + 1)

k!(n k + 1)! + n!k

k !(n k + 1)!

= n!(n k + 1) + n!k k !(n k + 1)!

= n!(n k + 1 + k) k !(n k + 1)!

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

(87)

Théorème Preuve:

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

=

✓ n + 1 k

◆

= n!(n k + 1)

k!(n k + 1)! + n!k

k !(n k + 1)!

= n!(n k + 1) + n!k k !(n k + 1)!

= n!(n k + 1 + k) k !(n k + 1)!

= n!(n + 1)

k!(n k + 1)!

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

(88)

Théorème Preuve:

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

=

✓ n + 1 k

◆

= n!(n k + 1)

k!(n k + 1)! + n!k

k !(n k + 1)!

= n!(n k + 1) + n!k k !(n k + 1)!

= n!(n k + 1 + k) k !(n k + 1)!

= n!(n + 1)

k!(n k + 1)!

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

(89)

Théorème Preuve:

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

=

✓ n + 1 k

◆

= n!(n k + 1)

k!(n k + 1)! + n!k

k !(n k + 1)!

= n!(n k + 1) + n!k k !(n k + 1)!

= n!(n k + 1 + k) k !(n k + 1)!

= n!(n + 1)

k!(n k + 1)! = (n + 1)!

k !(n + 1 k )!

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

(90)

Théorème Preuve:

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

=

✓ n + 1 k

◆

= n!(n k + 1)

k!(n k + 1)! + n!k

k !(n k + 1)!

= n!(n k + 1) + n!k k !(n k + 1)!

= n!(n k + 1 + k) k !(n k + 1)!

= n!(n + 1)

k!(n k + 1)! = (n + 1)!

k !(n + 1 k )!

✓ n k

◆

+

✓ n k 1

◆

=

✓ n + 1 k

◆

(91)

Faites les exercices suivants

# 1.48 et 1.49

(92)

✓ n + 1 k

◆

=

✓ n k 1

◆

+

✓ n k

◆

(93)

✓ 0 0

◆

= 1

✓ n + 1 k

◆

=

✓ n k 1

◆

+

✓ n k

◆

(94)

✓ 1 0

◆

= 1

✓ 0 0

◆

= 1

✓ n + 1 k

◆

=

✓ n k 1

◆

+

✓ n k

◆

(95)

✓ 1 0

◆

= 1

✓ 0 0

◆

= 1

✓ n + 1 k

◆

=

✓ n k 1

◆

+

✓ n k

◆

✓ 1 1

◆

= 1

(96)

✓ 2 0

◆

= 1

✓ 1 0

◆

= 1

✓ 0 0

◆

= 1

✓ n + 1 k

◆

=

✓ n k 1

◆

+

✓ n k

◆

✓ 1 1

◆

= 1

(97)

✓ 2 0

◆

= 1

✓ 1 0

◆

= 1

✓ 0 0

◆

= 1

✓ 3 0

◆

= 1

✓ n + 1 k

◆

=

✓ n k 1

◆

+

✓ n k

◆

✓ 1 1

◆

= 1

(98)

✓ 2 0

◆

= 1

✓ 2 2

◆

= 1

✓ 1 0

◆

= 1

✓ 0 0

◆

= 1

✓ 3 0

◆

= 1

✓ n + 1 k

◆

=

✓ n k 1

◆

+

✓ n k

◆

✓ 1 1

◆

= 1

(99)

✓ 2 0

◆

= 1

✓ 2 2

◆

= 1

✓ 1 0

◆

= 1

✓ 0 0

◆

= 1

✓ 3 0

◆

= 1

✓ 3 3

◆

= 1

✓ n + 1 k

◆

=

✓ n k 1

◆

+

✓ n k

◆

✓ 1 1

◆

= 1

(100)

✓ 2 1

◆

=

✓ 1 0

◆

+

✓ 1 1

◆

✓ 2 0

◆

= 1

✓ 2 2

◆

= 1

✓ 1 0

◆

= 1

✓ 0 0

◆

= 1

✓ 3 0

◆

= 1

✓ 3 3

◆

= 1

✓ n + 1 k

◆

=

✓ n k 1

◆

+

✓ n k

◆

✓ 1 1

◆

= 1

(101)

✓ 2 1

◆

=

✓ 1 0

◆

+

✓ 1 1

◆

✓ 2 0

◆

= 1

✓ 2 2

◆

= 1

✓ 1 0

◆

= 1

✓ 0 0

◆

= 1

✓ 3 0

◆

= 1

✓ 3 1

◆

=

✓ 2 0

◆

+

✓ 2 1

◆ ✓

3 3

◆

= 1

✓ n + 1 k

◆

=

✓ n k 1

◆

+

✓ n k

◆

✓ 1 1

◆

= 1

(102)

✓ 2 1

◆

=

✓ 1 0

◆

+

✓ 1 1

◆

✓ 2 0

◆

= 1

✓ 2 2

◆

= 1

✓ 1 0

◆

= 1

✓ 0 0

◆

= 1

✓ 3 0

◆

= 1

✓ 3 1

◆

=

✓ 2 0

◆

+

✓ 2 1

◆ ✓ 3 2

◆

=

✓ 2 1

◆

+

✓ 2 2

◆ ✓ 3 3

◆

= 1

✓ n + 1 k

◆

=

✓ n k 1

◆

+

✓ n k

◆

✓ 1 1

◆

= 1

(103)

✓ n + 1 k

◆

=

✓ n k 1

◆

+

✓ n k

◆

(104)

✓ 0 0

◆

✓ n + 1 k

◆

=

✓ n k 1

◆

+

✓ n k

◆

(105)

✓ 0 0

◆

✓ 1 1

✓ ◆ 1 0

◆

✓ n + 1 k

◆

=

✓ n k 1

◆

+

✓ n k

◆

(106)

✓ 0 0

◆

✓ 1 1

✓ ◆ 1 0

◆

✓ 2 1

◆ ✓ 2 2

◆

✓ 2 0

◆

✓ n + 1 k

◆

=

✓ n k 1

◆

+

✓ n k

◆

(107)

✓ 0 0

◆

✓ 1 1

✓ ◆ 1 0

◆

✓ 2 1

◆ ✓ 2 2

◆

✓ 2 0

◆

✓ 3 1

◆ ✓ 3 2

◆ ✓ 3 3

◆

✓ 3 0

◆

✓ n + 1 k

◆

=

✓ n k 1

◆

+

✓ n k

◆

(108)

✓ 0 0

◆

✓ 1 1

✓ ◆ 1 0

◆

✓ 2 1

◆ ✓ 2 2

◆

✓ 2 0

◆

✓ 3 1

◆ ✓ 3 2

◆ ✓ 3 3

◆

✓ 3 0

◆

✓ 4 1

◆ ✓ 4 2

◆ ✓ 4 3

◆ ✓ 4 4

◆

✓ 4 0

◆

✓ n + 1 k

◆

=

✓ n k 1

◆

+

✓ n k

◆

(109)

✓ 0 0

◆

✓ 1 1

✓ ◆ 1 0

◆

✓ 2 1

◆ ✓ 2 2

◆

✓ 2 0

◆

✓ 3 1

◆ ✓ 3 2

◆ ✓ 3 3

◆

✓ 3 0

◆

✓ 4 1

◆ ✓ 4 2

◆ ✓ 4 3

◆ ✓ 4 4

◆

✓ 4 0

◆

✓ 5 1

◆ ✓ 5 2

◆ ✓ 5 3

◆ ✓ 5 4

◆ ✓ 5 5

◆

✓ 5 0

◆

✓ n + 1 k

◆

=

✓ n k 1

◆

+

✓ n k

◆

(110)

Il semble y avoir un lien entre les binômes et le triangle de Pascal.

Théorème (x + y )

n

= X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(111)

Il semble y avoir un lien entre les binômes et le triangle de Pascal.

Le triangle de Pascal donne les coefficients binomiaux.

Théorème (x + y )

n

= X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(112)

Il semble y avoir un lien entre les binômes et le triangle de Pascal.

Le triangle de Pascal donne les coefficients binomiaux.

Le théorème suivant explicite ces liens.

Théorème (x + y )

n

= X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(113)

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(114)

Comment faire pour être certain que cette formule fonctionne toujours?

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(115)

Induction

Comment faire pour être certain que cette formule fonctionne toujours?

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(116)

Induction

Comment faire pour être certain que cette formule fonctionne toujours?

L’induction est une méthode de preuve qui permet de vérifier si une proposition est vrai pour tout les entiers.

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(117)

Dominos

(118)

Dominos

Quelles sont les conditions pour qu’ils tombent tous?

(119)

Dominos

1) On doit être capable de faire tomber le premier

Quelles sont les conditions pour qu’ils tombent tous?

(120)

Dominos

Quelles sont les conditions pour qu’ils tombent tous?

1) On doit être capable de faire tomber le premier

(121)

Dominos

Quelles sont les conditions pour qu’ils tombent tous?

1) On doit être capable de faire tomber le premier

2) Si n’importe quel dominos tombe, il doit faire tomber le

suivant.

(122)

Dominos

Quelles sont les conditions pour qu’ils tombent tous?

1) On doit être capable de faire tomber le premier

2) Si n’importe quel dominos tombe, il doit faire tomber le

suivant.

(123)

En terme d’autre mots si on vérifie qu’une proposition

(124)

En terme d’autre mots si on vérifie qu’une proposition

1) est vrai pour

(125)

En terme d’autre mots si on vérifie qu’une proposition

2) si elle est vrai pour alors elle est vrai pour

1) est vrai pour

(126)

En terme d’autre mots si on vérifie qu’une proposition

2) si elle est vrai pour alors elle est vrai pour

1) est vrai pour

(127)

En terme d’autre mots si on vérifie qu’une proposition

2) si elle est vrai pour alors elle est vrai pour

1) est vrai pour

(128)

En terme d’autre mots si on vérifie qu’une proposition

2) si elle est vrai pour alors elle est vrai pour

1) est vrai pour

(129)

En terme d’autre mots si on vérifie qu’une proposition

2) si elle est vrai pour alors elle est vrai pour

1) est vrai pour

(130)

En terme d’autre mots si on vérifie qu’une proposition

2) si elle est vrai pour alors elle est vrai pour

1) est vrai pour

(131)

En terme d’autre mots si on vérifie qu’une proposition

2) si elle est vrai pour alors elle est vrai pour

1) est vrai pour

(132)

Théorème (x + y )

n

= X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(133)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(134)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction)

(135)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction)

pour n = 0

(136)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction)

(x + y )

0

= 1

pour n = 0

(137)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction)

(x + y )

0

= 1 X

0

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

=

✓ 0 0

◆

x

0

y

0

pour n = 0

(138)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction)

(x + y )

0

= 1 X

0

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

=

✓ 0 0

◆

x

0

y

0

= 1

pour n = 0

(139)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction)

(x + y )

0

= 1 X

0

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

=

✓ 0 0

◆

x

0

y

0

= 1 pour n = 0

n = 1

pour

(140)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction)

(x + y )

0

= 1 X

0

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

=

✓ 0 0

◆

x

0

y

0

= 1 pour n = 0

n = 1

pour (x + y )

1

= x + y

(141)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction)

(x + y )

0

= 1 X

0

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

=

✓ 0 0

◆

x

0

y

0

= 1 pour n = 0

n = 1

pour (x + y )

1

= x + y X

1

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

=

✓ 1 0

◆

x

1

y

0

+

✓ 1 1

◆

x

0

y

1

(142)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction)

(x + y )

0

= 1 X

0

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

=

✓ 0 0

◆

x

0

y

0

= 1 pour n = 0

n = 1

pour (x + y )

1

= x + y X

1

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

=

✓ 1 0

◆

x

1

y

0

+

✓ 1 1

◆

x

0

y

1

= x + y

(143)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction)

supposons vrai pour n

(144)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction) supposons vrai pour n

on veut vérifier que ça entraine

(145)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction) supposons vrai pour n

on veut vérifier que ça entraine

(x + y )

n+1

=

n+1

X

k=0

✓ n + 1 k

◆

x

n+1 k

y

k

(146)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction) supposons vrai pour n

on veut vérifier que ça entraine

(x + y )

n+1

=

n+1

X

k=0

✓ n + 1 k

◆

x

n+1 k

y

k

(147)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction) supposons vrai pour n

on veut vérifier que ça entraine

(x + y )

n+1

=

n+1

X

k=0

✓ n + 1 k

◆

x

n+1 k

y

k

(148)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction) supposons vrai pour n

on veut vérifier que ça entraine

(x + y )

n+1

=

n+1

X

k=0

✓ n + 1 k

◆

x

n+1 k

y

k

(x + y )

n+1

(149)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction) supposons vrai pour n

on veut vérifier que ça entraine

(x + y )

n+1

=

n+1

X

k=0

✓ n + 1 k

◆

x

n+1 k

y

k

(x + y )

n+1

= (x + y )(x + y )

n

(150)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction) supposons vrai pour n

on veut vérifier que ça entraine

(x + y )

n+1

=

n+1

X

k=0

✓ n + 1 k

◆

x

n+1 k

y

k

(x + y )

n+1

= (x + y )(x + y )

n

= (x + y )

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(151)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction) supposons vrai pour n

on veut vérifier que ça entraine

(x + y )

n+1

=

n+1

X

k=0

✓ n + 1 k

◆

x

n+1 k

y

k

(x + y )

n+1

= (x + y )(x + y )

n

= (x + y )

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(152)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction) supposons vrai pour n

on veut vérifier que ça entraine

(x + y )

n+1

=

n+1

X

k=0

✓ n + 1 k

◆

x

n+1 k

y

k

(x + y )

n+1

= (x + y )(x + y )

n

= (x + y )

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

= x

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

+ y

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(153)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction) supposons vrai pour n

on veut vérifier que ça entraine

(x + y )

n+1

=

n+1

X

k=0

✓ n + 1 k

◆

x

n+1 k

y

k

(x + y )

n+1

= (x + y )(x + y )

n

= (x + y )

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

= x

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

+ y

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(154)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction) supposons vrai pour n

on veut vérifier que ça entraine

(x + y )

n+1

=

n+1

X

k=0

✓ n + 1 k

◆

x

n+1 k

y

k

(x + y )

n+1

= (x + y )(x + y )

n

= (x + y )

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

= x

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

+ y

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n+1 k

y

k

+

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k+1

(155)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction) supposons vrai pour n

on veut vérifier que ça entraine

(x + y )

n+1

=

n+1

X

k=0

✓ n + 1 k

◆

x

n+1 k

y

k

(x + y )

n+1

= (x + y )(x + y )

n

= (x + y )

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

= x

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

+ y

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n+1 k

y

k

+

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k+1

(156)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction) supposons vrai pour n

on veut vérifier que ça entraine

(x + y )

n+1

=

n+1

X

k=0

✓ n + 1 k

◆

x

n+1 k

y

k

(x + y )

n+1

= (x + y )(x + y )

n

= (x + y )

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

= x

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

+ y

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n+1 k

y

k

+

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k+1

(157)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction) supposons vrai pour n

on veut vérifier que ça entraine

(x + y )

n+1

=

n+1

X

k=0

✓ n + 1 k

◆

x

n+1 k

y

k

(x + y )

n+1

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n+1 k

y

k

+

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k+1

(158)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction) supposons vrai pour n

on veut vérifier que ça entraine

(x + y )

n+1

=

n+1

X

k=0

✓ n + 1 k

◆

x

n+1 k

y

k

(x + y )

n+1

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n+1 k

y

k

+

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k+1

t = k + 1

(159)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction) supposons vrai pour n

on veut vérifier que ça entraine

(x + y )

n+1

=

n+1

X

k=0

✓ n + 1 k

◆

x

n+1 k

y

k

(x + y )

n+1

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n+1 k

y

k

+

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k+1

t = k + 1

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n+1 k

y

k

+

n+1

X

t=1

✓ n t 1

◆

x

n (t 1)

y

t

(160)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction) supposons vrai pour n

on veut vérifier que ça entraine

(x + y )

n+1

=

n+1

X

k=0

✓ n + 1 k

◆

x

n+1 k

y

k

(x + y )

n+1

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n+1 k

y

k

+

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k+1

t = k + 1

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n+1 k

y

k

+

n+1

X

t=1

✓ n t 1

◆

x

n (t 1)

y

t

(161)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction) supposons vrai pour n

on veut vérifier que ça entraine

(x + y )

n+1

=

n+1

X

k=0

✓ n + 1 k

◆

x

n+1 k

y

k

(x + y )

n+1

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n+1 k

y

k

+

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k+1

t = k + 1

k = t 1 =

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n+1 k

y

k

+

n+1

X

t=1

✓ n t 1

◆

x

n (t 1)

y

t

(162)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction) supposons vrai pour n

on veut vérifier que ça entraine

(x + y )

n+1

=

n+1

X

k=0

✓ n + 1 k

◆

x

n+1 k

y

k

(x + y )

n+1

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n+1 k

y

k

+

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k+1

t = k + 1

k = t 1 =

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n+1 k

y

k

+

n+1

X

t=1

✓ n t 1

◆

x

n (t 1)

y

t

(163)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction) supposons vrai pour n

on veut vérifier que ça entraine

(x + y )

n+1

=

n+1

X

k=0

✓ n + 1 k

◆

x

n+1 k

y

k

(x + y )

n+1

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n+1 k

y

k

+

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k+1

t = k + 1

k = t 1 =

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n+1 k

y

k

+

n+1

X

t=1

✓ n t 1

◆

x

n (t 1)

y

t

k = 0

(164)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction) supposons vrai pour n

on veut vérifier que ça entraine

(x + y )

n+1

=

n+1

X

k=0

✓ n + 1 k

◆

x

n+1 k

y

k

(x + y )

n+1

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n+1 k

y

k

+

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k+1

t = k + 1

k = t 1 =

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n+1 k

y

k

+

n+1

X

t=1

✓ n t 1

◆

x

n (t 1)

y

t

k = 0

t = 1

(165)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction) supposons vrai pour n

on veut vérifier que ça entraine

(x + y )

n+1

=

n+1

X

k=0

✓ n + 1 k

◆

x

n+1 k

y

k

(x + y )

n+1

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n+1 k

y

k

+

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k+1

t = k + 1

k = t 1 =

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n+1 k

y

k

+

n+1

X

t=1

✓ n t 1

◆

x

n (t 1)

y

t

k = 0

t = 1

(166)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction) supposons vrai pour n

on veut vérifier que ça entraine

(x + y )

n+1

=

n+1

X

k=0

✓ n + 1 k

◆

x

n+1 k

y

k

(x + y )

n+1

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n+1 k

y

k

+

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k+1

t = k + 1

k = t 1 =

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n+1 k

y

k

+

n+1

X

t=1

✓ n t 1

◆

x

n (t 1)

y

t

k = n

k = 0

t = 1

(167)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction) supposons vrai pour n

on veut vérifier que ça entraine

(x + y )

n+1

=

n+1

X

k=0

✓ n + 1 k

◆

x

n+1 k

y

k

(x + y )

n+1

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n+1 k

y

k

+

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k+1

t = k + 1

k = t 1 =

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n+1 k

y

k

+

n+1

X

t=1

✓ n t 1

◆

x

n (t 1)

y

t

k = n k = 0 t = 1

t = n + 1

(168)

Théorème Preuve:

(x + y )

n

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k

(Par induction) supposons vrai pour n

on veut vérifier que ça entraine

(x + y )

n+1

=

n+1

X

k=0

✓ n + 1 k

◆

x

n+1 k

y

k

(x + y )

n+1

=

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n+1 k

y

k

+

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n k

y

k+1

t = k + 1

k = t 1 =

X

n

k=0

✓ n k

◆

x

n+1 k

y

k

+

n+1

X

t=1

✓ n t 1

◆

x

n (t 1)

y

t

k = n k = 0 t = 1

t = n + 1

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Note sur les coefficients du binôme de Newton

Donc : Les sommes des coefficients de la puissance 6n du binôme, pris de trois en trois, deviennent égales entre elles en retranchant Vunité de la première, et leur va~. leur est ~(a

Théorème sur le binôme de Newton pour l'exposant entier et positif

Si Ton décompose la série des coefficients du binôme de Newton en trois parties, en prenant les termes de trois en trois, deux de ces sommes sont égales et la troisième surpasse

Études sur le binôme de Newton

ment une identité littéraire entre des séries et ne subsiste pas d'une manière absolue pour des valeurs numériques ; c'est-à-dire que des valeurs numériques quelconques, attribuées

Démonstration du théorème 55 sur le binôme de Newton

Soit ka r ou k < ; a un des facteurs du dénominateur $ il existe dans le numérateur un facteur correspondant a p —ka r ; les deux facteurs sont donc divisibles par a r et

Du binôme de Newton, antérieurement à Newton

» D'où il suit que cette puissance de tout nombre est égale à la somme des puissances de ses deux parties ; et 12 fois chacune de ces parties multipliée par la onzième puissance

IV. Séance 4 : puissances d’une matrice via le binôme de Newton

Il faut faire attention à cet argument : il ne peut être évoqué que dans le cas présenté ici, à savoir un système homogène linéaire qui possède le même nombre d’équations

Exercice corrigé : triangle de Pascal – formule du binôme 1.Construisons le triangle de Pascal jusqu

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