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Exercice corrigé : triangle de Pascal – formule du binôme 1.Construisons le triangle de Pascal jusqu

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Academic year: 2022

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Chapitre 13 : Les probabilités : formule du binôme et triangle de pascal Page 1 sur 1

Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Exercice corrigé : triangle de Pascal – formule du binôme

1.Construisons le triangle de Pascal jusqu’à la ligne n=10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

7 1 7 21 35 35 21 7 1

8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

D’après le triangle 



8

3 =56 



10

4 =210 et 



9

5 =126 2. Développons avec la formule du binome : (3+x)4 ; (1+x)6 et (2−i)4

• (3+x)4=

∑

k=0 4





4

k ×34−k×xk=34+4×33x+6×32x2+4×3×x3+x4= x4+12x3+54x2+108x+81

• (1+x)6=

∑

k=0 6





6

k 16−k×xk= x6+6x5+15x4+20x3+15x2+6x+1

• (2−i)4=

∑

k=0 4





4

k 24−k×(-i)k=24+4×23×(-i)+6×22×(-i)2+4×21×(-i)3+(-i)4 =16+32(-i)+24×(-1)+8×i+1= -7−24i

3. Montrons que

∑

k=0 n





n

k 4k=5n

∑

k=0 n





n k 4

k

=

∑

k=0 n





n

k 1n−k×4k=(1+4)n=5n

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