D319. Corps flottant D3. Cubes, parallélépipèdes, sphères
Un polyèdre convexe flotte à la surface de l’eau. Est-il possible que 90% de son volume se trouve en dessous du niveau de l’eau tandis que plus de la moitié de sa surface est à l’air libre ?
Solution de Paul Voyer
Intuitivement, c'est évident : si le polyèdre est assez "plat", l'aire immergée est voisine de l'aire de la base en lui étant inférieure, et l'aire totale est voisine de 2 fois l'aire de la base en lui étant supérieure.
La base peut être un polygone quelconque, mais pour des calculs simples, on peut raisonner avec une pyramide carrée de sommet A.
Le rapport des volumes donne immédiatement h/H = 3 0.9 0.965
Aire pyramide = ² ²
2 2
² a H
a
a
Aire immergée = ² ²
² 2
2 a H
H
a h
On s'intéresse au ratio H/a, on peut poser a = 1.
Le rapport des aires est
4
² 1 2 1
4
² 1 9 . 0
*
2 3
2
H
H
, qui devient <
2
1dès que H²+1/4 < 1/1.72
soit H < 0.58… environ.
