D263. La chèvre de monsieur Seguin
Mr Seguin a toujours des soucis avec sa chèvre. Il décide de la mettre dans un enclos délimité par un ruisseau rectiligne et par une clôture électrique s’appuyant sur un certain nombre de poteaux. La chèvre fait comprendre à son maître que ne sachant pas nager, elle ne se sauvera plus mais en contrepartie il lui faut au moins 1000 m² d’herbe à brouter. Prouver qu’avec 80 mètres de clôture, Mr Seguin peut installer son enclos et déterminer le nombre minimal de poteaux dont il a besoin.
On considère une partie rectiligne du ruisseau, de longueur ܮ, comme le diamètre d'un cercle sur lequel seront planté les poteaux de façon équidistante.
• Longueur de la clôture
ܲଶܪଶ=ܮ
2 sin ߙ ܪଶܲଵ=ܮ
2 ሺ1 − cos ߙሻ ሺܲଵܲଶሻଶ= ሺܲଶܪଶሻଶ+ ሺܪଶܲଵሻଶ=ܮଶ
4 ሺݏ݅݊ଶߙ + 1 − 2 cos ߙ + ܿݏଶߙሻ =ܮଶ
2 ሺ1 − cos ߙሻ =ܮଶ
2 ቀ2ݏ݅݊ଶߙ
2ቁ = ܮଶݏ݅݊ଶߙ
ܲଵܲଶ= ܮ sinߙ 2 Avec ݊ + 1 poteaux, la longueur totale de la clôture est : 2
݊ ܮ sin ߨ
• Aire "broutable" 2݊
ܵଵ=ܲଶܪଶ. ܱܲଵ
2 =ܮଶ 8 sin ߙ Avec ݊ + 1 poteaux, l'aire totale délimitée par le ruisseau et la clôture est :
݊ܮଶ 8 sinߨ
• Solution ݊
൞ ݊ ܮ sin ߨ 2݊ ≤ 80
݊ܮଶ 8 sinߨ
݊ ≥ 1000
La calculatrice donne les valeurs extrêmes pour un minimum de 8 poteaux ሺߙ = ߨ/7ሻ
݊ ߙ poteaux ruisseau clôture aire 7 ߨൗ7 8 51.323 79.943 1000.013
51.359 79.999 1001.416
