il faut installer la clôture avec le minimum de piquets (tout en assurant au moins 1000m2) 2 - On sait que le disque est l' aire maximale pour un périmètre donné

D263. La chèvre de monsieur Seguin

Mr Seguin a toujours des soucis avec sa chèvre.Il décide de la mettre dans un enclos délimité par un ruisseau rectiligne et par une clôture électrique s’appuyant sur un certain nombre de poteaux. La chèvre fait comprendre à son maître que ne sachant pas nager, elle ne se sauvera plus mais en contrepartie il lui faut au moins 1000 m² d’herbe à brouter.Prouver qu’avec 80 mètres de clôture,Mr Seguin peut installer son enclos et déterminer le nombre minimal de poteaux dont il a besoin.

1 - Remarques préliminaires

1- On a affaire ici a un problème apparenté à un problème de type isopérimétrie : trouver une aire maximale pour un « périmètre » donné.

Mais deux variantes importantes :

– ce n' est qu' une pseudo isopérimétrie car une partie du périmètre est constituée par un segment de la rive du ruisseau dont la longueur mise en jeu varie.

– il faut installer la clôture avec le minimum de piquets (tout en assurant au moins 1000m2) 2 - On sait que le disque est l' aire maximale pour un périmètre donné.

Dans le cas limite d' un cercle tangent à la rive, et donc avec R = 40/pi, l' aire serait S = (40/Pi)² x Pi , S = 1600/Pi < 1000 m2

Si on envisage une clôture constituée par un arc de cercle de 80m s' appuyant sur la rive droite, on peut exprimer le rayon Ra de ce nouveau cercle, à l' aide de l' angle 2alpha sous lequel est vue la rive droite depuis le centre du nouveau cercle.

2Pi x Ra = 80 + Ra x 2alpha soit Ra = 40/(Pi-alpha) A partir de cela, il est aisé de calculer en fonction de alpha, l' aire Aa du champ.

On trouve ainsi

Aa = Pi x Ra² – ( Pi x Ra² x alpha/Pi - 1/2 Ra² x sin(2alpha) )

Une étude rapide confirme que cette aire, fonction de alpha, est maximale lorsque alpha = Pi/2 On trouve ainsi :

=> Si on pouvait disposer les 80m de clôture en un demi-cercle s' appuyant sur la rive rectiligne, on obtiendrait d' une aire maximale égale à

Aa(Pi/2) = 1,018 m2

Cependant pour constituer ainsi une clôture semi-circulaire, il faudrait un nombre infini de piquets adjacents !!!

Dans la mesure où 1000m2 au moins sont suffisants, ceci va permettre de diminuer le nombre de piquets.

Ici on peut remarquer que pour un nombre donné de piquets, définissant un polygone à m côtés de périmètre donné, l' aire est maximale quand le polygone est régulier (théorème isopérimétrique, dont la démonstration pour le triangle m = 3 et le quadrilatère m = 4 est élémentaire et fournit le triangle équilatéral et le carré pour solutions respectives)

A partir de cela :

– En s' appuyant sur l' étude précédente faite à partir du cercle, il est clair que pour un polygone donné, l' aire sera maximale lorsque une moitié du polygone régulier correspondant sera mise en jeu (complétée par la rive droite de la rivière)

Et puisque la « régularité » commande ces questions de maximalisation d' aire : Il faut que ce demi-polygone soit lui-même régulier. C' est-à dire :

les demi-polygones mis en jeu résultent de polygones réguliers à nombre pair de côtés – Le nombre minimal de piquets dans cette configuration sera obtenu lorsque cette aire

maximale sera juste supérieure ou égale à 1000m2

2 - Détermination du nombre minimal de piquets

Le demi-polygone régulier s' appuyant sur la rive, a n côtés entiers.

Il est inscrit dans un demi cercle de centre O et de rayon Rn et l' angle sous lequel on voit un côté depuis O, est Pi/n

Le périmètre du demi-polygone est

n x (2 x Rn x sin(Pi/2n) = 80 (m) (1) Son aire An est

An = n x Aire d' un triangle = n x Rn2 x sin(Pi/2n) x cos (Pi/2n) (2) L' expression de Rn tirée de (1), permet d' écrire

An = (80)²/( 4 x n x tan(Pi/2n) ) (3) (lorsque n tend vers l'infini, on retrouve ainsi Aa(Pi/2) donnée par le demi-cercle) Ici on veut n minimum tel que An > 1000 (m2)

soit n tan (Pi/2n) < 16/10 (4) Le terme de gauche est décroissant (depuis 2), lorsque n entier augmente à partir de n = 2.

Al 'aide de n'importe quelle calculette de poche, on vérifie que pour n = 6, n tan (Pi/2n) = 1,6077...

n = 7, n tan (Pi/2n) = 1,5977...

En conclusion

=> un demi-polygone régulier à 7 côtés, fermé par la rive droite est la solution

Puiqu'il faut un piquet à chaque extrémité pour assurer la fermeture, cela nécessite 8 piquets.

Cette solution conduit à une aire donnée par (3), soit avec n = 7 : An = 1001,4337...

qui satisfait bien sûr aux conditions posées.