D 263. La chèvre de Mr Seguin
Mr Seguin a toujours des soucis avec sa chèvre. Il décide de la mettre dans un enclos délimité par un ruisseau rectiligne et par une clôture électrique s’appuyant sur un certain nombre de poteaux. La chèvre fait comprendre à son maître que ne sachant pas nager, elle ne se sauvera plus mais en contrepartie il lui faut au moins 1000 m² d’herbe à brouter. Prouver qu’avec 80 mètres de clôture, Mr Seguin peut installer son enclos et déterminer le nombre minimal de poteaux dont il a besoin.
Solution de Michel Lafond
Si l’on symétrise l’enclos par rapport à la rivière, on obtient un polygone de périmètre 160 m.
On sait que pour un périmètre donné, l’aire d’un polygone (dont le nombre de côtés est fixé) est maximale quand le polygone est régulier.
Si R est le rayon du demi-polygone et n le nombre de ses côtés, on a = / n.
De
n
et de
R n n 2 sin 2
80
on tire facilement :
) 2 / ( sin
40 n R n
puis l’aire de l’enclos :
) 2 / ( tan ) 1600 2 / ( cos
40R n n n
