Problème D263. La chèvre de monsieur Seguin
Louis ROGLIANO
Mr Seguin a toujours des soucis avec sa chèvre. Il décide de la mettre dans un enclos délimité par un ruisseau rectiligne et par une clôture électrique s’appuyant sur un certain nombre de poteaux. La chèvre fait comprendre à son maître que ne sachant pas nager, elle ne se sauvera plus mais en contrepartie il lui faut au moins1000m2 d’herbe à brouter.Prouver qu’avec80mètres de clôture,Mr Seguin peut installer son enclos et déterminer le nombre minimal de poteaux dont il a besoin.
L’aire maximum serait obtenue en disposant la clôture en demi cercle de diamètre le ruisseau. Pour minimiser le nombre de poteaux, il faut disposer la clôture afin de délimiter un certain nombre de triangles isocèles de sommet commun le centreO du demi-cercle. Par des considérations de symétrie on voit que le maximum est atteint si les triangles isocèles sont égaux. Reste donc à en connaître le nombre.
Sinest le nombre de triangles isocèles, nous avons (voir figure):
nL= 80, α= π
n, L= 2Rsinα 2
L’aire totale de l’enclos est alors: A= n
2 R2sinα=
1600cos π 2n nsin π
2n
Pourn = 7nous avons une aire totale de1001,44m2. Le nombre minimum de poteaux est donc8.
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