D263 : La chèvre de Monsieur Seguin
Mr Seguin a toujours des soucis avec sa chèvre.Il décide de la mettre dans un enclos délimité par un ruisseau rectiligne et par une clôture électrique s’appuyant sur un certain nombre de poteaux. La chèvre fait comprendre à son maître que ne sachant pas nager, elle ne se sauvera plus mais en contrepartie il lui faut au moins 1000 m² d’herbe à brouter.Prouver qu’avec 80 mètres de clôture,Mr Seguin peut installer son enclos et déterminer le nombre minimal de poteaux dont il a besoin ?
En complétant par symétrie par rapport au ruisseau, on est donc amené à trouver un polygone de demi-périmètre p=80 m, de surface S supérieure à 2000 m2.
Pour un périmètre et un nombre de cotés donnés, la surface maximale est obtenue lorsque le polygone est régulier.
Pour un polygone régulier à n cotés, inscrit dans un cercle de rayon R, le périmètre est 2p=2nRsin(π/n), et la surface S=nR2sin(2π/n)/2; d’où Rsin(π/n)=p/n et
S=nR2sin(π/n)cos(π/n)=p2cotg(π/n)/n. Il faut donc que cotg(π/n)/n≥2000/802 ce qui est vrai dès que n≥14.
La clôture de l’enclos doit donc comporter 7 segments, donc 8 poteaux.