D263. La chèvre de monsieur Seguin
Mr Seguin a toujours des soucis avec sa chèvre. Il décide de la mettre dans un enclos délimité par un ruisseau rectiligne et par une clôture électrique s’appuyant sur un certain nombre de poteaux. La chèvre fait comprendre à son maître que ne sachant pas nager, elle ne se sauvera plus mais en contrepartie, il lui faut au moins 1000 m² d’herbe à brouter. Prouver qu’avec 80 mètres de clôture, Mr Seguin peut installer son enclos et déterminer le nombre minimal de poteaux dont il a besoin.
Avec 80 m de clôture, on peut enclore un demi-disque de rayon 80/π et donc de surface 3 200/π ≅ 1 018,5916 m2.
Le but de M. Seguin va donc être d'approximer au mieux ce demi-cercle par un polygone. Pour maximiser le remplissage (rapport surface/périmètre) et simplifier (un peu) les calculs, on va supposer qu'il utilise la moitié d'un polygone régulier à 2n côtés, et donc que la surface qu'il enclot est constitué de n triangles élémentaires, encadrés par n+1 poteaux,
de base u= 2Rsin
2n et d'apothème a= Rcos 2n .
Par hypothèse, 80=nu et le souhait de la chèvre conduit à S= nau
2 ≥ 1 000, soit a≥25.
De la définition de u et de l'hypothèse, on tire R=
40
nsin
2n , d'où la condition de surface qui s'écrit alors,
40cos 2n
nsin 2n
≥25 qui conduit à n tg
2n ≤ 40 25 .
A l'aide d'un tableur, on trouve que pour n=7 (c'est à dire pour 8 poteaux), la valeur de n tg 2n devient inférieur à 1,6, et on trouve les valeurs de R et S correspondantes.
n
2 2,00000 28,284 800,0000
3 1,73205 26,667 923,7604
4 1,65685 26,131 965,6854
5 1,62460 25,889 984,8587
6 1,60770 25,758 995,2135
7 1,59770 25,680 1001,4369
8 1,59130 25,629 1005,4679
9 1,58694 25,595 1008,2279
10 1,58384 25,570 1010,2002
n tg(pi/2n) R=40/(n sin(pi/2n)) S=1600 n / tg(pi/2n)