D263. La chèvre de monsieur Seguin
Mr Seguin a toujours des soucis avec sa chèvre. Il décide de la mettre dans un enclos délimité par un ruisseau rectiligne et par une clôture électrique s’appuyant sur un certain nombre de poteaux. La chèvre fait comprendre à son maître que ne sachant pas nager, elle ne se sauvera plus mais en contrepartie il lui faut au moins 1000 m² d’herbe à brouter. Prouver qu’avec 80 mètres de clôture, Mr Seguin peut installer son enclos et déterminer le nombre minimal de poteaux dont il a besoin.
Solution proposée par Maurice Bauval
Un demi-cercle de surface 1000 a un rayon de
π
2000 , soit environ 25.231 m.
Une demi circonférence de longueur 80 a un rayon de π
80soit environ 25.465m.
La clôture de 80 mètres appliquée sur un demi-cercle et complétée par le ruisseau délimite un enclos de surface supérieure aux 1000 m² demandés.
Cependant, la clôture est tendue sur des poteaux (en nombre fini ) disposés sur une demi circonférence de rayon R, elle forme une ligne brisée de n segments. Chacun est vu du centre sous l’angle π /n. Chaque segment a pour longueur 2Rsin( π / 2n ). D’où une première condition : R inférieur ou égal à 80/ 2 n sin(π / 2n ).
L’enclos est alors la réunion de n triangles isocèles, chacun ayant une surface de R2 sin(π / 2n ) cos( π / 2n ) = R2 /2 sin(π / n ). D’où une deuxième condition :
R supérieur ou égal à
n) n.sin(π
2000
n 6 7
80/ 2 n sin(π / 2n ). 25.758 25.6797669
_______________
2000 / (n sin π /n)
25.819 25.66133763
n doit être au moins égal à 7 pour que
n) n.sin(π
2000 <
n) 2n.sin(π
80
On plantera donc 8 poteaux sur une demi circonférence de rayon 25.679. La surface d’herbe proposée à la chèvre sera proche de: 25.67976692 7/2 sin π /7 = 1001.436 m² .