A476 - Passage d’une année à l’autre Solution proposée par Maurice Bauval
On a l’équation : 2010 x2 + x = 2011 y2 + y Soit A = 2010 + 2011 = 4021.
Si on pose s= x+y et t = x-y on a une équation plus simple : s2 - 2A st+ t(t-4) = 0 .
A partir de la solution (s,t) = (0,0) on pourra trouver par récurrence 2 suites de solutions de cette équation :
Soit F(A,s,t)= s2 - 2A st+ t(t-4) on peut constater que a) F(A, (4A2 –1)s –2Ast+8A, 2As-t+4 ) = F(A,s,t) et aussi b) F(A, -s+2At, –2As+(4A2 –1)t +4 ) = F(A,s,t)
a)Une suite de solutions est obtenue à partir de s0 =0,t0 =0, par sn+1 = (4A2 - 1 )sn - 2Atn + 8A
et tn+1 = 2Asn - tn + 4.
De plus on a sn+1 = 2Atn+1 -sn
On recherche une relation de récurrence pour les tn. tn+2 = 2Asn+1 - tn+1 + 4 = 2A[2Atn+1 -sn] - tn+1 + 4 tn+2 = (4A2 –1)tn+1 – 2Asn +4. Mais 2Asn +4 = tn+1 + tn tn+2 = (4A2 –1)tn+1 – tn+1 - tn +8
La suite des tn peut être définie par t0 = 0, t1 = 4, tn+2 = (4A2 - 2)tn+1 - tn + 8.
t2 = 258695056
t3 = 16730782482320676
t4 = 1082042644335376348608064
t5 = 69979768453596761419524480096100
t6 = 4525854889783023909974464043532559920144
b)Une autre suite de solutions est obtenue à partir de s’0 =0,t’0 =0, par s’n+1 = -s’n + 2At’n
et t’n+1 = -2As’n + (4A2 –1)t’n + 4.
Mais on remarque que si (s,t) est solution de s2 - 2Ast+ t(t-4)= 0, le couple ( 2At-s ,t) est également solution. On constate que s’n= 2Atn-sn et t’n = tn.
Les racines carrées des nombres tn pour n entre 0 et 6 sont des nombres entiers : pn = tn : p0 = 0
p1 = 2 p2 = 16084 p3 = 129347526 p4 = 1040212788008
p5 = 8365391111812810 p6 = 67274474280985830012
Ils semblent obéir à la loi pn+2 = 2A pn+1 –pn . ____ ____ ____
On aurait alors pn = 1/ A2-1 ((A+ A2-1 )n -(A- A2-1 )n ) _____ _____
puis pn2
= 1/ (A2-1) ((A+ A2-1 )2n +(A- A2-1 )2n -2)
En remplaçant dans tn+2 - (4A2 - 2)tn+1 + tn , tn+2,tn+1, tn par les valeurs supposées de pn+22
, pn+12
, pn2
,
après simplification on trouve 8. La conjecture concernant les pn se trouve donc démontrée.
Conclusion générale :
Les couples (xn,yn) solutions de toute équation diophantienne de la forme m x2 + x = (m+1) y2 + y sont tels que xn-yn = pn2
.
En posant A = 2m+1, les nombres entiers pn sont ceux définis par _____ _____ _____
pn = 1/ A2-1 ((A+ A2-1 )n -(A- A2-1 )n )
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